Injektivität einer Funktion zeigen

Question

Ich sitze gerade vor folgender Aufgabenstellung. Für die Funktion f: M→N soll ich zeigen:

f ist injektiv ⇔ ∀ x,y ∈ M : x ≠ < y  ⇒  f(x) ≠ f(y)

Hinweis: Um die Richtung "⇐" in jedem Fall zu zeigen, muss man für jedes w ∈ N ein eindeutiges Element x_w aus der Teilmenge f ^-1 (w) := { x ∈ M : f(x) = w} auswählen und damit eine Funktion g: N→M ; w→x_w definieren.

Könnt ihr mir dabei helfen, die ersten Schritte zu finden, um die obige Äquivalenz zu zeigen?

 In der Vorlesung haben wir auch ein Kriterium für Injektivität:

f: M→N  ; g :N→M     injektiv, falls g  f = id_M

Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt :)

{\displaystyle \circ }