Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Gegeben:\(\quad f:\;A\to B\quad;\quad g:\;B\to C\).
zu a) Injektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\text{ ist injektiv}}{\implies}f(x_1)=f(x_2)\stackrel{f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2$$Wenn also \(f\) und \(g\) injektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) injektiv.
zu b) Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Wähle ein \(c\in C\) beliebig, aber fest. Da \(g\) surjektiv ist, gibt es ein \(b\in B\) mit \(c=g(b)\). Da \(f\) ebenfalls surjektiv ist, gibt es ein \(a\in A\) mit \(b=f(a)\). Für das gewählte \(c\) gibt es also ein \(a\) mit \(c=g(f(a))\). Da \(c\) beliebig gewählt werden kann, gilt also:$$\forall c\in C:\;\exists a\in A:\;c=(g\circ f)(a)$$Wenn also \(f\) und \(g\) surjektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) surjektiv.
zu c) Die Umkehrungen gelten nicht.
Zwar kann man zeigen, dass aus der Injektivität von \(g\circ f\) die Injektivität von \(g\) folgt:$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\circ f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2\implies f(x_1)=f(x_2)\implies\text{\(g\) ist injektiv}$$Aber über die Injektivität von \(f\) ist keine allgemeine Aussage möglich.
Aus der Surjektivität von \(g\circ f\) folgt auch die Surjektivität von \(g\), denn dann gibt es für jedes \(c\in C\) ein \(a\in A\) mit \(c=(g\circ f)(a)\). Dann gibt es aber auch ein \(b=f(a)\) mit \(c=g(b)\).
Aber über die Surjektivität von \(f\) ist keine allgmeine Aussage möglich.
