Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen + und · die Körperaxiome (1.1)-(1.9) mit ( {K} anstelle von …

Question

Aufgabe:

Für \( n \in\{0,1,2,3,4,5,6\} \) bezeichne \( \bar{n} \) die Menge der natürlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest \( n \) lassen, also etwa \( \bar{3} = \{3,10,17,24,31,38 \ldots \} \). Bezeichne \( \mathrm{K}:=\{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6} \} . \) Zu \( \bar{n}, \bar{m} \in \bar{K} \) existiert eine eindeutig bestimmte Zahl \( k \in\{0,1,2,3,4,5,6\rangle \) mit \( n+m \in \bar{k} . \) Wir definieren \( \bar{n}+\bar{m}:=\bar{k} . \) Analog sei \( \bar{n} \cdot \bar{m} \) definiert durch \( \bar{n} \cdot \bar{m} := \bar{\ell} \), falls \( n \cdot m \in \bar{\ell} . \) Zeigen Sie, dass \( K \) mit den so definierten Verknüpfungen \( + \) und \( \cdot \) die Körperaxiome \( (1.1)-(1.9) \) mit ( \( \mathrm{K} \) anstelle von \( \mathbb{R} \) ) erfüllt. (Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.)

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, dass ich keinerlei Ansatz habe, wie man an die Aufgabe herangehen soll. Mir ist bewusst, dass alle Axiome gelten müssen, ich weiß allerdings nicht, wie man zeigen soll, dass die gelten.

Vielen Dank schonmal :)

Comments

Körperaxiome \( (1.1)-(1.9) \)

entsprechende Nummerierung wie bei

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)#Einzelaufz%C3%A4hlung_der_ben%C3%B6tigten_Axiome

?

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Genau,

Körperaxiome:

1.1 Assoziativgesetz d. Addition

1.2 Kommutativgesetz d. Addition

1.3 neutrales Element d. Addition

1.4 Inverses Element d. Addition

1.5 Assoziativgesetz d. Multiplikation

1.6 Kommutativgesetz d. Multiplikation

1.7 neutrales Element d. Multiplikation

1.8 Inverses Element d. Multiplikation

1.9 Distributivgesetz

Answer 1

z.B. 1.2

Du musst zeigen:

\( \mathrm{K}:=\{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6} \} \)

Für alle Elemente x, y aus K gilt x + y = y + x

Seien also x, y aus K, dann gibt es a,b \(  \in\{0,1,2,3,4,5,6\} \)

mit  \(   x=\bar{a}, y=\bar{b}  \)

Dann sei c der Rest, den a+b bei Division durch 7 lässt.

Also x+y= \(  =\bar{c}   \)     Da aber a+b=b+a in ℤ gilt,

ist auch der Rest, den b+a bei Division durch 7 lässt gleich c.

Und somit y+ x=  \(  =\bar{c}  \)

Also letztlich x+y=y+x für alle x,y aus K.

So ähnlich kannst du das für die anderen Axiome auch machen.

\( \bar{0}, \bar{1}  \) sind die neuralen bzgl + bzw. *

Und bei den Inversen kannst zu ja ggf. alle 7 bzw. 6

Fälle durchgehen.

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Vielen Dank :)