Zeigen Sie die Existenz und Eindeutigkeit eines Polynoms Tn(y) von Grad n, so dass:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Existenz und Eindeutigkeit eines Polynoms Tn(y) von Grad n, so dass:

Tn(cos x) = cos(nx)

Problem/Ansatz:

Liebe Mathematiker, ich studiere seit einer Woche Physik und werde mit dieser Aufgabe komplett überfordert.

Ich weiß, dass diese Aufgabe mit Induktion zu lösen ist. Deswegen habe ich die Aussage schon für ein beliebiges n (n=1) bewiesen und möchte nun die Induktion durchführen, jedoch weiß ich in diesem Fall nicht genau wie. Ich weiß, dass die Aufgabe etwas mit dem Tschebyschow Polynom zu tun hat, aber das darf ich nicht anwenden, da ich es ja noch "nicht" kenne.

Induktion mit Reihen und Folgen ist für mich sehr greifbar. Hier habe ich jedoch ein allgemeines Polynom Tn(y) in der Formel und irgendwie finde ich keinen Weg, der einfach ist und meinem Wissensstand entspricht.

Meine Vorgehensweise:

IA: T1(cos x) = cos(1x), stimmt

IV: Wir wissen: Tn(cos x) =cos(nx)

Wir wollen beweisen: Tn+1(cos x) = cos((n+1)x)

Das 2. kann man umformen zu:

Tn+1(cos x) = cos(nx +x)

Natürlich kann ich jetzt mit den ganzen Additionstheoremen so lange umformen bis die Sonne untergeht. Aber was mache ich dann?

Links steht Tn+1(cos x) und rechts eine Kombi aus Cosinus und Sinus etc. Wie kann ich denn so ein Polynom beweisen?

Wenn ich eine Reihe habe und eine Folge, die ich via Induktion beweisen soll, dann forme ich so lange um, bis auf beiden Seiten das gleiche steht. Im jetzigen Beispiel wird doch niemals auf beiden Seiten das gleiche rauskommen, oder?

Ich bitte herzlich um eure Hilfe und bedanke mich im Voraus schon mal. Mir fehlt nur dieser eine Gedanke um die Brücke zum Ziel zu schlagen

Answer 1

Sicher ist die Aufgabe mit vollst. Induktion zu lösen.

Ich finde aber einen anderen Weg "einfacher":

Der Satz von Moivre besagt, dass

\(\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n\) ist.

\(\cos(nx)\) ist also der Realteil der rechts stehenden n-ten Potenz.

Nach dem binomischen Satz ist dies also$$Re(\sum_{k=0}^n{{n}\choose {k}}(i\sin(x))^k\cos^{n-k})$$Die Summanden sind nur für gerade \(k\) reell, also in diesem Falle

\( { n \choose k }(-\sin^2(x))^{k/2}\cos(x)^{n-k}=\)

\(={ n \choose k }(-1+\cos^2(x))^{k/2}\cos(x)^{n-k}\)

Diese Summanden sind sämtlich polynomial in \(\cos(x)\).

Damit ist auch \(\cos(nx)\) als Polynom in \(\cos(x)\) dargestellt.

Comments

Die Sätze sind mir alle bekannt, jedoch hatten wir diese noch nicht in der Vorlesung. Klar, ich habe die Formel von De Moivre gesehen, ich kann auch mit komplexen Zahlen rechnen, jedoch hatten wir die Thematik mit dem binomischen Lehrsatz in den letzten 5min der Vorlesung. Worauf ich hinaus möchte ist: dass die Aufgabe die Überschrift "Induktion" trägt und ich das ganze mit Induktion auch beweisen wollte. Nun hat mein Übungsleiter eine Nachricht an alle geschrieben in der stand: verifizieren sie die Rekursionsformel:

Tn+1(x) = 2x * Tn(x) -Tn-1(x)

Jetzt stehe ich komplett auf dem Schlau.

Answer 2

Vorschlag: Für \(n\ge1\) definiere Funktionen \(T_n\) rekursiv durch$$T_0(x)=1,\quad T_1(x)=x,\quad T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x).$$Es ist klar, dass die \(T_n\) Polynome vom Grad \(n\) sind.

Zu zeigen ist, dass \(T_n\big(\cos(x)\big)=\cos(nx)\) für alle \(n\ge0\) gilt.

Es ist \(T_0\big(\cos(x)\big)=1=\cos(0)=\cos(0x)\),
sowie \(T_1\big(\cos(x)\big)=\cos(x)=\cos(1x)\). ✔

Wenn die Aussage für ein beliebiges festes \(n\ge1\) gilt, dann gilt auch$$\begin{aligned}T_{n+1}\big(\cos(x)\big)&=2\cos(x)\cdot T_n\big(\cos(x)\big)-T_{n-1}\big(\cos(x)\big)\\&=2\cos(x)\cdot\cos(nx)-\cos\big((n-1)x\big)\\&=2\cos(x)\cdot\cos(nx)-\cos(nx-x)\\&=2\cos(x)\cdot\cos(nx)-\cos(nx)\cdot\cos(x)-\sin(nx)\cdot\sin(x)\\&=\cos(x)\cdot\cos(nx)-\sin(nx)\cdot\sin(x)\\&=\cos(x+nx)\\&=\cos\big((n+1)x\big).\end{aligned}$$Damit ist die Existenz gezeigt.

Comments

Ich danke dir vielmals für diesen detaillierten Lösungsweg, aber eine Frage hätte ich noch: Wie genau kommt man auf die Rekursionsformel. Was ist der Hauptgedanke dahinter? Und wieso muss nochmal extra mit 2cos(x) multipliziert werden?

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Bzw wäre ich nie von selbst darauf gekommen, eine Rekursionsformel aufzustellen

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Die Rekursionsformel ist vom Übungsleiter als Hinweis mitgegeben worden. Es fehlten nur noch geeignete Startpolynome \(T_0\) und \(T_1\).
Der Faktor \(2\cos(x)\) kommt daher, dass die \(T_n\) an der Stelle \(\cos(x)\) ausgewertet werden, d.h. das Argument \(x\) wird ersetzt durch \(\cos(x)\).
Aus \(T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)\) wird
so \(T_{n+1}\big(\cos(x)\big)=2\cos(x)\cdot T_n\big(\cos(x)\big)-T_{n-1}\big(\cos(x)\big)\).

Zur besseren Unterscheidung hätte ich vielleicht \(T_n(y)\), bzw. \(T_n\big(\cos(x)\big)\) schreiben sollen.

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Ich danke dir für die unglaubliche Erklärung! Mich hat nur die Herleitung der Rekursionsformel interessiert, da ich gedachte hätte, dass es etwas, wie alle Profs sagen, "triviales" ist und ich vielleicht von selbst darauf hätte kommen sollen. Nochmal danke!