Zeigen sie, dass der Koeffizient y^(n) in Tn 2^(n-1) ist

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass der Koeffizient y^(n) in Tn auch 2^(n-1) ist

Problem/Ansatz:

Zuvor musste ich in der Aufgabe beweisen, dass ein Polynom n. Grades existiert, so dass

Tn(cos x) = cos (nx) gilt. Das Ganze konnte ich endlich mit der Hilfe der anderen Mathematiker aus dem Forum beweisen:

https://www.mathelounge.de/966922/zeigen-sie-existenz-eindeutigkeit-eines-polynoms-grad-dass?show=967000#c967000

Ich konnte das ganze nachvollziehen, nur weiß ich jetzt nicht, was der Ansatz wäre, um den Koeffizienten zu bestimmen, weswegen ich um Tipps bitte, die mir einen Aha-Effekt geben. Ich studiere seit einer Woche und habe absolut keine Ahnung was genau abgeht. Die Überschrift der Aufgabe lautet Induktion. Aber wie man diese hier anwenden könnte, ist mir ein Rätsel.

Ich bedanke mich für jeden Tipp in Voraus!

Comments

Tipp: Die zu beweisende Aussage kann so formuliert werden:

$$(A_n) \quad T_n(x)=2^{n-1}x^n+P_{n-1}$$

wobei \(P_{n-1}\) ein Polynom vom Höchstgrad n-1 ist, dessen genaue Gestalt wir nicht brauchen.

Mit dieser Formulierung kannst Du einen Induktionsbeweis führen, wobei Du die Rekursionsformel aus Deinem anderen Post benutzt.

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Noch eine kurze Frage: wäre x^n dann einfach (cos(x))^n)?

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Bzw lautet meine Formel, die ich beweisen möchte nun so:

\( 2^{n} \)*\( x^{n+1} \)=2x* \( 2^{n-1} \)*\( x^{n} \)- \( 2^{n-2} \)*\( x^{n-1} \)

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Diese Formel ist doch offensichtlich falsch.

Answer 1

Hallo,

wir haben die Rekursionsformel

$$T_0(x)=1, \quad T_1(x)=x, \quad T_2(x)=2x^2-1, \qquad T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$

und die Behauptung für n=1,2,3,...

$$(A_n)\quad T_n(x)=2^{n-1}x^n+P_{n-1}(x)$$

mit einem Polynom vom Höchstgrad n-1.

Offenbar ist die Behauptung für n=1 und n=2 richtig. Es gelte nun für ein \(n\geq 2\) die Aussage \(A_n\). Dann folgt:

$$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)=2x(2^{n-1}x^n+P_{n-1}(x))-2^{n-2}x^{n-1}-P_{n-2}(x)$$

$$=2^nx^{n+1}+2x P_{n-1}(x)-2^{n-2}x^{n-1}-P_{n-2}(x)$$

Dabei bilden die 3 letzten Terme ein Polynom vom Höchstgrad n.

Gruß Mathhilf