Das fünfte PEANO-Axiom

Question

Aufgabe:

M:={0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5....}

Weshalb erfüllt diese Menge nicht das 5. PEANO-Axiom?

Die 0 ist in M enthalten und für jedes x ∈ M, gilt auch (x+1) ∈ M.

Comments

Wie ist denn bei euch das 5. Axiom eingeführt worden?

Für mich ist es nämlich erfüllt.

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vgl:

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Diese Menge kann aber das fünfte Axiom nicht erfüllen. Die natürlichen Zahlen enthalten doch keine Komma-Zahlen.

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im 5. Axiom wie es etwa in wiki  aufgeführt ist steht für {n ∈N... }  aber 0,5 liegt nicht in N

lul

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Das 5 Axiom nach Wikipedia ist:

$$\forall X (0\in X \land \forall n (n \in \N \Rightarrow (n\in X \Rightarrow n'\in X)) \Rightarrow \N \subseteq X)$$

Heißt

wenn in einer Menge X die 0 liegt

und

für alle natürlichen Zahlen in X auch der Nachfolger in X liegt,

dann

sind die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.

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In der Menge $\{ \frac{n}{2} ~|~ n \in \mathbb N \}$ liegt die 0, für jede natürliche Zahl in dieser Menge liegt auch ihr Nachfolger darin. Die natürlichen Zahlen sind doch offensichtlich eine Teilmenge dieser Menge, da $2\mathbb N \subseteq \mathbb N$

Ich sehe da keinen Widerspruch.

Nirgends wird da irgendwo gefordert, dass nur natürliche Zahlen drin sein dürfen oder ähnliches. Deshalb schau bitte in deinen Unterlagen nach mit welcher Formulierung ihr arbeitet.

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Verstehe ich nicht! du selbst schreibst doch ∀n∈N(n∈N...

und 0,5∉N

lul

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jedes x ∈ M, gilt auch (x+1) ∈ M.

1 kommt in den Peano-Axiomen gar nicht vor.

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Hallo

ob man Nachfolger x' schreibt oder x+1 ist für x∈N egal

lul

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ist für x∈N egal

Hier geht es aber um x ∈ M.

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Du hast recht in diesem M ist der Nachfolger von x x+0,5

lul

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Da steht

Für alle n

WENN n eine natürliche Zahl

DANN

(Wenn n in X dann ist auch der Nachfolger n' in X)

Da n=0.5 keine natürliche Zahl ist, ist diese Aussage für n=0.5 wahr.

Answer 1

Fünftes Axiom: $(0\in X \wedge \forall n (n\in X\to n+1 \in X)) \to \mathbb{N}\subseteq X$

Es gilt

        $0 \in \underbrace{\{0, 1, 2, 3, \dots\}}_{=X}$

und

        $\forall n (n\in \underbrace{\{0, 1, 2, 3, \dots\}}_{=X}\to n+1 \in \underbrace{\{0, 1, 2, 3, \dots\}}_{=X})$.

Laut fünftem Axiom ist deshalb $\mathbb{N}\subseteq \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.

Es gilt aber $\{0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3,\ 3.5,\ ....\}\nsubseteq \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.

Also muss $\{0,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3,\ 3.5,\ ....\}\neq \mathbb{N}$ sein.