Eindeutigkeit
Wenn man zu beiden Seiten einer gültigen Gleichung das selbe addiert, dann bekommt man eine gültige Gleichung.
Wenn die Gleichung
\(x + z = y\)
gültig ist, dann ist demnach auch die Gleichung
\(a+ (x + z) = a+y\)
für jedes \(a\in K\) gültig. Mittels Assoziativgesetz lässt sich diese Gleichung umformen zu
\((a+ x) + z = a+y\).
Die Zahl \(x\) hat ein Inverses \(-x\) bezüglich Addition. Wählt man \(-x\) für \(a\), dann bekommt man die Gleichung
\((-x + x) + z = -x + y\)
welche sich umformen lässt zu
\(0 + z = -x + y\)
und mittels Neutralität der 0 bezüglich Addition weiter zu
\(z = -x + y\).
Zusammengefasst ergibt das, wenn \(x + z = y\) gilt, dann muss \(z = -x + y\) sein.
Existenz
Einsetzen von \(z = -x + y\) in \(x + z = y\) ergibt
\(x + (-x + y) = y\).
Die linke Seite kann man mit Körperaxiomen zu \(y\) umformen, so dass die Gleichung
\(y = y\)
entsteht. Diese Gleichung ist gültig.
