Finden Sie die Varianz von X.

Question

Aufgabe:

Sei X Exponentialverteilt mit Parameter λ > 0 mit P(X ≤ 1) = P(X > 1).
Finden Sie die Varianz von X.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man die Var so berechnet: Var(x)=1/λ²

^{Allerdings ist mir nicht bewusst, was genau nun die Lösung/Antwort von dem Beispiel ist.}

Comments

Du schreibst:

Var(x)=...

Ist Dir der Unterschied zwischen X und x bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen bewusst?

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Ahm nicht wirklich. Darf ich gleich um eine Erklärung bitten?

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X ist die Zufallsvariable.

x ist ein Wert (aber nicht der Wert), den sie annehmen kann.

Darum Var[X] und nicht Var[x].

Answer 1

Ich würde zuerst das lambda ausrechnen, und dann die Varianz.

Comments

Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

F(x) = 1 - e^-λx

F(1) = 1 - e^-λ = 1/2     ⇒     λ = - ln(1/2) = ln(2)

Die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsvariablen ist

V[X] = 1 / λ²

Die Antwort ist V[X] ≈ 2,08

Answer 2

Aus P(X ≤ 1) = P(X > 1). folgt P(X ≤ 1) = 0,5.

Löse also die Gleichung \( \int\limits_{0}^{1} \lambda\cdot e^{-\lambda x}dx=0,5\), um das erforderliche λ zu ermitteln.

Comments

Aus P(X ≤ 1) = P(X > 1). folgt P(X ≤ 1) = 0,5.

Wäre es möglich zu erklären, warum es so?

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(X ≤ 1) und (X > 1) umfassen bereits alle möglichen Fälle.

P(X ≤ 1) + P(X > 1) = 1.

Und die beiden Summanden P(X ≤ 1) und P(X > 1)  sollen gleich groß sein...