Mengenaussage bei ganzen Zahlen

Question

Aufgabe:

8Z\3Z=(8+24Z)∪(16+24Z)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe das ganze bereits bewiesen (so wie ich es denke), nur möchte ich sichergehen ob meine Art richtig war.

Kann mir evt. jemand einen Ansatz geben wie er/sie das beweisen würde.

Comments

Stell doch deinen Beweis zur Diskussion hier rein.

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Also ich dachte mir kZ und n teilt k.

x=4m=2*(2m)=2*n → n=2m

8+24Z <--> 32Z <--> 32m --> N teilt 32m --> w.a.

16+24Z = 40Z <--> 40m → n teilt 40m → w.a.

Angenommen n=3m, dann gilt:

n teilt 8m und 32m und 40m → nicht möglich.

--> 8Z ohne 3Z = ...

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8+24Z≠ 32Z

 24Z= {...-72.-48,-24,0,24,48,72...}

8+24Z={...-64,-40,-16,8,....}

32Z kannst du selbst, dann vergleiche

was du mit " kZ und n teilt k." meinst ???

aber da man 24 tb 3, 8 nicht tb 3 also 24Z+8 nicht tb 3

eigentlich muss man nur zeigen dass hier jede dritte 8er Zahl ausgelassen wird!

Gruß lul

Answer 1

Deinen Beweis kann ich nicht so recht nachvollziehen.

Es geht doch um eine Mengengleichheit.

8Z\3Z=(8+24Z)∪(16+24Z)

Das macht man ja meistens so

Sei x∈8Z\3Z  ==>    x∈(8+24Z)∪(16+24Z)

und umgekehrt:

Sei    x∈(8+24Z)∪(16+24Z) ==> Sei x∈8Z\3Z .

Also würde ich so beginnen:

x∈8Z\3Z ==>  8|x und  ¬(3|x)

        ==>  Es gibt k∈ℤ  mit x=8*k  und    ¬(3|x)

          ==>  Es gibt k∈ℤ  mit x=8*k   und   ¬(3|k)

        ==>  Es gibt k∈ℤ  mit x=8*k   und   ∃n∈ℤ k=3n+1 oder k=3n+2

       Für x=8k und k=3n+1 folgt x = 8(3n+1) = 24n+8 ==>  x∈(8+24Z)

       für  x=8k und k=3n+2 folgt x = 8(3n+2) = 24n+16 ==>  x∈(16+24Z)

also    x∈(8+24Z)∪(16+24Z)

ungekehrt: Sei x∈(8+24Z)∪(16+24Z).

==>     ∃n∈ℤ       x= 24n+8  oder 24n+16

In beiden Fällen ist x durch 8 teilbar , aber sicher nicht durch 3,

weil 24n durch 3 teibar ist, aber 8 und 16 beide nicht.

==>  x∈8Z\3Z