Aufgabe:
Text erkannt:
a) \( a_{n}=\frac{\left(n^{2}-1\right)(2 n+1)}{5 n^{3}+11 n+7} \);
b) \( a_{n}=\frac{n^{3}}{5^{n}} \quad \) (Hinweis: \( 5^{n / 4}=\left(1+5^{1 / 4}-1\right)^{n} \) mit Bernoulli-Ungleichung abschätzen)
c) \( a_{n}=\left(\frac{5^{n}+3 n^{3}-1}{1+2 e^{n}}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \) (Aufgabe b) benutzen);
d) \( a_{n}=\frac{1}{2}-\frac{n}{2}+\frac{1+2+\ldots+n}{n+2} \)
e) \( a_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \quad \) (Ausdruck geeignet erweitern);
f) \( a_{n}=\frac{2 n^{(-1)^{n}}}{n+2} \)
g) \( a_{n}=\frac{(-2)^{n}}{e^{n}+1} \)
Text erkannt:
a) \( a_{n}=\frac{\left(n^{2}-1\right)(2 n+1)}{5 n^{3}+11 n+7} \);
b) \( a_{n}=\frac{n^{3}}{5^{n}} \quad \) (Hinweis: \( 5^{n / 4}=\left(1+5^{1 / 4}-1\right)^{n} \) mit Bernoulli-Ungleichung abschätzen)
c) \( a_{n}=\left(\frac{5^{n}+3 n^{3}-1}{1+2 e^{n}}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \) (Aufgabe b) benutzen);
d) \( a_{n}=\frac{1}{2}-\frac{n}{2}+\frac{1+2+\ldots+n}{n+2} \)
e) \( a_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \quad \) (Ausdruck geeignet erweitern);
f) \( a_{n}=\frac{2 n^{(-1)^{n}}}{n+2} \)
g) \( a_{n}=\frac{(-2)^{n}}{e^{n}+1} \)
Ich muss die Grenzwerte der Folgen bestimmen und komme einfach nicht weiter. Könnte mir jemand helfen?
Ansatz:
also für a habe ich n^3 ausgeklammert und komme auf 2/5, für solche Typen von Folgen ist mir eigentlich klar, wie ich den Grenzwert bestimme.
Für b komme ich auf =, da der Lim von Zwei Folgen Multiplizeiert, auch der Grenzwert der beiden multipliziert ist. Aber in der Aufgabe steht ja was von der Bernoulli-Ungleichung.
Bei e habe ich mit dem in Klammern stehenden Term erweitert, Aber dadurch wird es irgendwie nicht einfacher.
Bei dem rest habe ich keine wirkliche Idee wie ich vorgehen soll.
Danke schonmal im Voraus
