Aloha :)
Wir wollen die Gültigkeit einer Aussage \(A(n)\) für alle \(n\in\mathbb N\) beweisen. Hier ist:$$A(n)\colon\;n\le n^2$$
Das machen wir mit vollständiger Induktion.
1) Induktionsveankerung bei \(n=1\):$$A(1)\colon\; 1\le1^2\quad\checkmark$$Für \(n=1\) haben wir die Aussage damit bewiesen.
2) Induktionsschritt von \(A(n)\) nach \(A(n+1)\):
Wir gehen davon aus, dass die Aussage bereits für ein bestimmtes \(n\) bewiesen wurde und folgern daraus, dass die Behauptung auch für das folgende \(n\) gilt. Wir gehen also davon aus, dass \(n\le n^2\) gilt und rechnen:$$n\le n^2\implies n+1\le n^2+1\stackrel{(0<\pink{2n})}{<}n^2+\pink{2n}+1=(n+1)^2\quad\checkmark$$Wenn die Behauptung für \(n\) gilt, gilt sie also auch für \((n+1)\).
Wiederholt man Schitt 2 immer wieder, gilt \(A(n)\) für alle \(n\in\mathbb N\).
Euer Leerer hat die Rechnung leider etwas ungeschickt formuliert. Auch er hat die Induktionsvoraussetzung \(\red{n\le n^2}\) verwendet, aber in der Form \(\green{n^2\ge n}\). Dann ist er nicht von der Induktionsvoraussetzung ausgegangen, sondern hat "von hinten" aus gerechnet und die Induktionsvoraussetzung in der Rechnung "versteckt"$$(n+1)^2=\green{n^2}+2n+1\green{\ge n}+2n+1>\green n+\cancel{2n}+1=\green n+1$$