Spezielle Mehrfachsummen vereinfachen/Formel herleiten

Question

Aufgabe:
Die 5fach Summe
\( \sum_{i5=5}^{a+4} \sum_{i4=i5}^{49} \sum_{i3=i4}^{49} \sum_{i2=i3}^{49} \sum_{i1=i2}^{49} 1  \)
vereinfachen bzw. eine explizite Formel dafür finden in der nur a noch vorkommt.
Idealerweise eine generelle Formel bei dem abgesehen von der äussersten Summe n innere Summen vorkommen.
Übrigens, bei der äusseren Summe entsprich die Untergrenze 1+4 und die Obergrenze a+4, wiel es 4 innere Summen gibt.
heißt, wenn da bspw. 6 innere Summen wären, dann wären die äusssersten grenzen i7=7 bis a+6.

Problem/Ansatz:
Ich könnte natürlich in Handarbeit versuchen einen Ausdruck durch stupides Ausrechnen hinzukriegen.
Innerste Summe wird einfach zu 49-i2.
Nächste SUmme braucht shcon die Formel für die "Summe der ersten n Zahlen".
Nächste Summe braucht dann shcon die Summe von Quadratzahlen.

So bin ich spätestens bei der nächsten Summe am Ende denn da müsste ich Kubikzahlen (oder beim nächstäusseren sogar hoch 4 Zahlen) aufaddieren.
Und dafür gibt es meines Wissens gar keine hübsche geschlossene Formel.

Insofern, falls es da irgendeinen allgemeinen Weg gibt, diese doch sehr speziellen Mehrfachsummen zu lösen, wäre ich ganz Ohr.

gerade weil , wenn man sich die SUmmen (abgesehen vom ganz aussen) so geometrisch vorstellt, sind das ja gewissermassen Dreiecke/Pyramide/x-dimensionales Äquivalent wo die die Spitze berührenden Seiten alle 49-kosntante sind, also alle gleich lang.
Nur ist das halt aus Blöcken der Länge 1 gebaut, gewissermassen.

Da muss es doch irgendwie eine hübsche geometrische Möglichkeit geben, das zu lösen?

Wo das schon so eine schöne auffällige Form hat.

Comments

Schonmal vorab: wenn eine Summe von i bis 49 läuft, dann sind das 49-i+1 Summanden.

Answer 1

Um mal einen Anfang zu machen.

Ich denke das Problem da einzudringen ist die Verschränkung der Indizies. Wer will das aufzudröseln?

Einmal das CAS befragt

\(S(a, b) \, :=  \, \sum\limits_{i_{5}=5}^{a + 4}\sum\limits_{i_{4}=i_{5}}^{b}\sum\limits_{i_{3}=i_{4}}^{b}\sum\limits_{i_{2}=i_{3}}^{b}\sum\limits_{i_{1}=i_{2}}^{b}1\)

\(S(a,49)\\ ↦ \frac{1}{120} \; a^{5} - \frac{47}{24} \; a^{4} + \frac{4417}{24} \; a^{3} - \frac{207505}{24} \; a^{2} + \frac{4060879}{20} \; a\)

S(3,49)

↦ 536130

1 / 120 a^5 - 47 / 24 a^4 + 4417 / 24 a³ - 207505 / 24 a² + 4060879 / 20 a, a = 3

↦ 536130

evtl. kleinere Laufweiten untersuchen?

S(a,n)

\(↦\frac{1}{120} \; a^{5} + \left(\frac{-1}{24} \; n + \frac{1}{12} \right) \; a^{4} + \left(\frac{1}{12} \; n^{2} - \frac{1}{3} \; n + \frac{7}{24} \right) \; a^{3} + \left(\frac{1}{2} \; n^{2} - \frac{1}{12} \; n^{3} - \frac{7}{8} \; n + \frac{5}{12} \right) \; a^{2} + \left(\frac{1}{24} \; n^{4} - \frac{1}{3} \; n^{3} + \frac{7}{8} \; n^{2} - \frac{5}{6} \; n + \frac{1}{5} \right) \; a\)

Geometrische Interpretation zu einem Polynom 5 Grades?

Comments

Was meinst du mit Cas, wo finde ich das? :O

Hatte auch schon nach Online Rechnern gesucht aber wenn überhaupt konnten die es nur lösen/vereinfachen wenn nur Zahlen vorkommen. Und kein Parameter wie a oder so

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S(a,b):=Sum(Sum(Sum(Sum(Sum(1,i_{1},i_{2},b),i_{2},i_{3},b),i_{3},i_{4},b),i_{4},i_{5},b),i_{5},5,a+4)

Eingabe mit [√] - Keep Input

https://www.geogebra.org/classic#cas

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Wenn ich an Alles gedacht habe, aber an Geogebra nicht.
Danke! :-)
Damit kann ich es mir wenigstens mal ausrechnen lassen in nem konkreten Fall.

WÜrde mich ja aber nichtsdestotrotz interessieren ob es eine Lösungsvariante gibt ohne stupide die Summen von innen nach aussen einzusetzen und so.

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Ja,

manchmal wird man von ggb auch mal positiv übergerascht ;-)

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Das Shclimme ist, in Schulzeiten hatte ich sogar aktiv damit "gearbeitet".

Nur seit ich Woflram Alpha kenne, haa das 99% aller Probleme in 2 Sekunden lösen können.

Habe natürlich auch dort meine xfach Summen ausprobiert aber Alles größer als eine einfache Summe konnte er nichts mit anfangen.

Oder ich habs falsch eigegeben, bei woflram Alpha weiß man ja nie wie man ihm korrekt schreibt was es tun soll

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wolfram ist halt nur statisch nutzbar - ich untersuche das CAS von ggb um Aufgaben aufzudröseln - Änderungen dynamisch durchzurechnen. Einerseits stark so eine allgemeine Summe(nformel) zu bestimmen, aber um die a-Potenzen auszuklammern muß man Klimmzüge machen...

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Naja, es wäre ja schon mal was, wenn man die äusserste Summe weglassen würde und
eben die innere Summen bei i5=a beginnen würden.

Vielleicht sollte ich mir einfach mal für verschiedene Summenanzahlen ie Formel von geogebra bestimmen lassen und dann gucken ob es da nicht eine Gesetzmässigkeit gibt :-)

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Ich würde das mal von rechts nach links aufdröseln, mit variablen

(1) Sum(1,i_1,i_2,n)

↦ \( n + 1 - i_2\)

(2) Sum($1, i_2, i_3, n) [Factor]isieren usw.

↦ \(\left(i_3 - n - 2 \right) \cdot \frac{i_3 - n - 1}{2}\)

(3) Sum($2, i_3, i_4, n) [Factor]

usw...