extremwert probleme mit

Question

Aufgabe

Gustav möchte aus einem Stück Pappe eine Box mit möglichst viel Volumen basteln. Die Pappe hat die Maße 30 cm * 40 cm. Die Box soll durch ausschneiden von Quadraten der Länge X in den Ecken entstehen.

Problem/Ansatz:

… berechne die Werte von X,, für die die Box maximal wird.

geben sie auch das maximale Volumen an.

Answer 1

1. Hauptbedingung aufstellen. Das ist die Formel für das was maximal oder minimal werden soll. Hier also das Volumen eines Quaders.

        \(V = a\cdot b \cdot c\)

2. Nebenbedingungen aufstellen. Die Nebenbedingungen sind Einschränkungen, welche Werte die in der Hauptbedingungen vorkommenden Variablen annehmen können.

        \(\begin{aligned}a &= 40 - 2x\\b&= 30 - 2x\\c&=x\end{aligned}\)

3. Zielfunktion aufstellen. Dabei werden die Nebenbedingungen verwendet (evtl. nach geeigneten Umformungen) um in der Hauptbedingung Variablen zu eliminieren.

        \(V(x) = (40-2x)\cdot(30-2x)\cdot x\)

4. Extrempunkt der Zielfunktion bestimmen. Wie du das in der EF gelernt hast.

5. Definitionsbereich prüfen. Hier muss \(0\leq x \leq 15\) sein, sonst bekommst du negative Seitenlängen, was im Sachzusammenhang keinen Sinn ergibt.

Answer 2

V(x) = (30-2x)*(40-2x)*x

Berechne: V '(x) = 0