Ist die adjunkte Matrix linear?

Question

Schönen guten Abend,
habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkommen:
Sei \( K \) ein Körper.
Ist die Abbildung \( f: \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \rightarrow \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \) definiert durch \( A \mapsto A^{a d} \) linear?
Meine Überlegung:
Nehme ich mal \( n=2 \), dann ist:
$$ \begin{array}{c} f\left(\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right)\right)+f\left(\left(\begin{array}{ll} y_{1} & y_{2} \\ y_{3} & y_{4} \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} x_{1} & -x_{3} \\ -x_{2} & x_{4} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} y_{1} & -y_{3} \\ -y_{2} & y_{4} \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} x_{1}+y_{1} & -x_{3}-y_{3} \\ -x_{2}-y_{2} & x_{4}+y_{4} \end{array}\right)=f\left(\left(\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} y_{1} & y_{2} \\ y_{3} & y_{4} \end{array}\right)\right) \end{array} $$
$$ \lambda f\left(\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right)\right)=\lambda\left(\begin{array}{cc} x_{1} & -x_{3} \\ -x_{2} & x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \lambda x_{1} & -\lambda x_{3} \\ -\lambda x_{2} & \lambda x_{4} \end{array}\right)=f\left(\lambda\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right)\right) $$
Das heißt für \( n=2 \) ist die obrige Abbildung linear. Analoge Überlegungen kann man natürlich auch für \( n=3 \) treffen, nur wird es halt mit aufsteigendem n schwieriger, die Linearität zu beweisen. Ich habe mich gefragt, ob man z.B. sowas hier \( A^{a d}+B^{a d}=(A+B)^{a d} \) bzw. \( \alpha \cdot A^{a d}=(\alpha A)^{a d} \) zeigen kann? Hatte jetzt auch versucht ein paar Gegenbeispiele zu finden, falls das nicht stimmen sollte, bin da aber auch nicht erfolgreich gewesen.

Freue mich über jede Form der Hilfe

LG

Comments

Meinst Du die adjungierte Matrix oder die adjunkte Matrix? Im ersteren Fsll hast Du recht

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ähm ja sorry, die adjungierte Matrix, hab mich da vertippt

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass mit \(A^{ad}\) die adjungierte Matrix

gemeint ist.

Additivität:

Sei \((*,*)\) das Standard-Skalarprodukt im \(V=\mathbb{R}^n\).

Dann gilt einerseits für beliebige \(x,y\in V\)

\(((A+B)x,y)=(x,(A+B)^{ad}y)\) und andererseits

\(((A+B)x,y)=(Ax+Bx,y)=(Ax,y)+(Bx,y)=\)

\(=(x,A^{ad}y)+(x,B^{ad}y)=(x,(A^{ad}+B^{ad})y)\).

Dies gilt für alle \(x\), also folgt \((A+B)^{ad}y=(A^{ad}+B^{ad})y\)

für alle \(y\) und daher

\((A+B)^{ad}=A^{ad}+B^{ad}\).

Comments

Interessante Idee. Dazu zwei Nachfragen:

Die Aufgabe bezog sich auf einen allgemeinen Körper K, würde dein Beweis auch mit der Multiplikation, z.B. in \( \mathbb{C} \) funktionieren?

Woher weiß ich, dass: \(((A+B)x,y)=(x,(A+B)^{ad}y)\)? Ich gehe mal davon aus, dass das eine Vektorschreibweise meint, da ist mir nicht bewusst, wie ich die Matrix \((A+B) \) "rausziehen" kann und dann \( (A+B)^{ad}\) erhalte.

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Es handelt sich um die Definition der Adjugiertheit:

Wenn \((Ax,y)=(x,\tilde{A}y)\) für alle \(x,y\in V\) ist,

heißt \(\tilde{A}\) die adjungierte zu \(A\) und wird mit

\(A^{ad}\) bezeichnet.

Mein Beweis funktioniert bei \(\mathbb{R}\) und bei \(\mathbb{C}\),

gibt aber bei beliebigem Körper so keinen Sinn, da man dann im

allgemeinen kein euklidisches / unitäres Skalarprodukt zur

Verfügung hat.

Im reellen Falle ist \(A^{ad}=A^T\), im komplexen Falle jedoch

\(A^{ad}=A^*=\overline{A}^T\).

Aber vielleicht meinst du doch die Adjunkte ???

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Also ich muss gestehen mir ist der Unterschied zwischen adjungierte Matrix und Adjunkte nicht so bewusst. ggf. habe ich die Begriffe vorher fälschlicher Weise synonym verwendet. Unser Prof hat das halt "adjungierte/komplementäre Matrix" genannt. Wenn ich aber komplementäre Matrix google, kommt z.B. dieser Eintrag hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

Wir haben \(A^{ad} \) auch so definiert, wie in dem Wikipedia Artikel.