Bestimmen Sie die Werte a_{2}, a_{3} und a_{4} auf 5 Stellen nach dem Dezimaltrennzeichen.

Question

Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sei rekursiv gegeben durch

\( a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{4}+1, \quad n \in \mathbb{N} . \)
a) Bestimmen Sie die Werte \( a_{2}, a_{3} \) und \( a_{4} \) auf 5 Stellen nach dem Dezimaltrennzeichen.
b) Beweisen Sie, dass die Zahlenfolge konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert der Folge \( \left(a_{n}\right) \).

Answer 1

(1)  Stelle zunächst fest, dass \(a_n>0\) für alle \(n\ge1\) gilt.

(2)  Zeige per Induktion über \(n\), dass \(a_n<2\) für alle \(n\ge1\) gilt:
Die Aussage gilt offenbar für \(n=1\). Gilt die Aussage für ein \(n\), dann folgt$$a_{n+1}=\frac{a_n^2}4+1<\frac{2^2}4+1=2.$$(3)  Zeige, dass \(a_{n+1}>a_n\) für alle \(n\ge1\) gilt:$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2}4+1-a_n=\left(\frac{a_n}2-1\right)^2\ge0.$$(4)  Nach (2) und (3) ist die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt.
Daraus folgt Konvergenz. Der Grenzwert \(a\) berechnet sich aus$$a=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n^2}4+1\right)=\frac{a^2}4+1$$zu \(\underline{\underline{a=2}}\).

Comments

Aus Neugier: Wie kommst du bei (2) auf an<2? Hast du das vom Grenzwert gerechnet?