Krümmung von Graphen - schneiden sich die Graphen?

Question

Wir haben gerade das Thema Krümmung.

Folgende Frage: Zwei Funktionen f und g seien auf ganz ℝ definiert und hinreichend oft differenzierbar. Der Graph von f sei überall linksgekrümmt, der Graph von g überall rechtsgekrümmt. Ferner gelte f(0) < g(0). Gilt dann, dass sich die Graphen notwendig schneiden?

Danke für jede Hilfe!

Comments

Ich habe als Zeichnung zwei Parabeln (da f ÜBERALL linksgekrümmt und g ÜBERALL rechtsgekrümmt ist). Die Parabel f ist nach oben geöffnet und die Parabel g ist nach unten geöffnet. Man könnte die Parabeln so zeichnen, dass sie sich nicht schneiden, nämlich dass bspw. f seinen Tiefpunkt bei (0 | 3) und g seinen Hochpunkt bei (0 | -1) hat. Dann haben wir aber die Bedingung f(0)< g(0) nicht erfüllt.

Wie beweise ich das aber?

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Nimm zunächst mal zwei ungekrümmte Funktionen. Wann schneiden die sich und wann schneiden die sich nicht und warum?

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Zwei nicht gekrümmte Funktionen wären bspw. Geraden. Sie schneiden sich genau dann wenn sie nicht parallel sind, denn dann laufen sie eben parallel und treffen sich nie. Also wenn sie verschiedene Steigungen haben (ein Schnittpunkt).

Wenn sie die gleiche Steigung haben, dann schneiden sie sich nur wenn sie identisch sind (unendlich viele Schnittpunkte), denn dann liegen sie genau aufeinander und haben unendlich viele gemeinsame Punkte, nämlich alle.

Answer 1

Gilt dann, dass sich die Graphen notwendig schneiden?

Ja.

Comments

Hast du einen Tipp, wie ich das formell aufschreiben kann? Habe oben schon meinen Gedankengang aufgeschrieben (Kommentar).

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Betraachte die beiden Steigungen der Funktionen und begründe daran, dass sich die Graphen schneiden müssen.

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Die Steigung an welcher Stelle denn?

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Wenn du die linearen Funktionen betrachtest. Könnten wir dann folgendes sagen?

Wenn f(0) < g(0) gilt schneiden sich die linearen Funktionen

nicht, wenn f'(0) = g'(0)
im pos. Bereich der x-Achse, wenn f'(0) > g'(0)
im neg. Bereich der x-Achse, wenn f'(0) < g'(0)

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Ich würde sogar behaupten, dass diese Punkte auch auf nichtlineare Funktionen zutreffen, wie bspw. Parabeln.

Haben wir bspw. unsere Parabeln f(x)=x²-2 (f'(x)=2x) und g(x)=-x²+2 (g'(x)=-2x) und betrachten die Fälle:

- x ≤ 0 ⇒ f'(x) ≤ 0 und g'(x) ≥ 0; insgesamt f'(x) ≤ g'(x)

- x ≥ 0 ⇒ f'(x) ≥ 0 und g'(x) ≤ 0; insgesamt g'(x) ≤ f'(x)

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Das wäre richtig, aber klammer dich nicht an einem Beispiel fest. Wenn du es beweisen willst, muss es ja für alle rechts und linksgekrümmten Funktionen gelten.

Und auch jetzt müssten wir uns auch von den linearen Funktionen verabschieden und uns Fragen, was bedeutet es für die Steigungen von Funktionen, wenn sie links- bzw. rechtsgekrümmt sind.

Für deine beiden Funktionen kannst du aber eine Fallunterscheidung wie zuvor machen

f'(0) = g'(0)
f'(0) > g'(0)
f'(0) < g'(0)

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f'(0)≠g'(0) gilt ja nur dann, wenn wir Funktionen vom Grad ≥ 3 haben.

Ich dachte, dass wir nur von Parabeln sprechen können weil die Funktionen ÜBERALL links- bzw. rechtsgekrümmt sind. Aber man könnte ja auch die Logarithmusfunktion und e-Funktion nehmen oder? Die beiden schneiden sich nämlich nicht und sind rechts- bzw. linksgekrümmt und es gilt, dass e⁰ > ln(0)

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Man könnte alle Funktionen nehmen, solange sie die Ausgangsbedingungen erfüllen. Einschließlich solcher Funktionen zu denen wir evtl. keinen Funktionsterm notieren können.

z.B. weißt du das f'(x) = e^{x²} immer positiv ist und daher f(x) linksgekrümmt sein muss. Allerdings können wir zu f(x) keinen Funktionsterm notieren oder?

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Stimmt, zumindest habe ich gelernt, dass e^{x^2} keine Stammfunktion hat.

Ich hänge leider immer noch fest. Wie zeige ich nun, dass die zwei Funktionen sich zwingend schneiden müssen.

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... was bedeutet es für die Steigungen von Funktionen, wenn sie links- bzw. rechtsgekrümmt sind.

Kannst du das beantworten?

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Falls eine Funktion linksgekrümmt ist, so ist die Steigung streng monoton steigend. Falls die Funktion aber rechtsgekrümmt ist, so ist die Steigung streng monoton fallend. (?)

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Ok. Jetzt nimm die 3 Fallunterscheidungen und deute es.

Fall 1:

f'(0) = g'(0)

da f linksgekrümmt und g rechtsgekrümmt ist folgt

f'(x) > g'(x) für positive x und

f'(x) < g'(x) für negative x

Was folgt daraus jetzt in Bezug auf Schnittpunkte?

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Was folgt daraus jetzt in Bezug auf Schnittpunkte?

Folgt daraus, dass es einen Schnittpunkt sowohl im negativen als auch im positiven Bereich gibt?

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Folgt daraus, dass es einen Schnittpunkt sowohl im negativen als auch im positiven Bereich gibt?

Ja. Das folgt daraus. Und jetzt untersuchst du noch die 2 anderen möglichen Fälle.

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Dann gibt es noch den Fall

f'(0) > g'(0).

f'(x) > g'(x) für x > Schnittpunkt der beiden Ableitungsfunktionen

f'(x) < g'(x) für x < Schnittpunkt der beiden Ableitungsfunktionen

Auch hier gibt es zwei Schnittpunkte aber nicht zwingend im negativen und im positiven Bereich.

Letzter Fall:

f'(0) < g'(0).

f'(x) > g'(x) für x > Schnittpunkt der beiden Ableitungsfunktionen
f'(x) < g'(x) für x < Schnittpunkt der beiden Ableitungsfunktionen

hier gibt es zwei Schnittpunkte aber nicht zwingend im negativen und im positiven Bereich.

Also folgt zwingend dass sich die zwei Funktionen schneiden.

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Dann gibt es noch den Fall

f'(0) > g'(0).

f'(x) > g'(x) für x > 0 --> Schnittpunkt der beiden Ableitungsfunktionen

Das ist richtig

f'(x) < g'(x) für x < 0 --> Schnittpunkt der beiden Ableitungsfunktionen

Das muss nicht richtig sein. Auch wenn etwas streng monoton steigend oder fallend ist kann es einen grenzwert haben der nicht über oder unterschritten werden kann.

Genau das gleiche für den letzten Fall.