Zeigen Sie, dass die Menge ein Körper ist

Question

Aufgabe:

Sei a∈ ℚ mit a > 0. Zeigen Sie, dass die Menge

ℚ + ℚ\( \sqrt{a} \) = {x + y\( \sqrt{a} \) : x, y ∈ ℚ}

mit den Operationen von ℝ ein Körper ist.

Problem/Ansatz:

Hat da jemand ein Lösungsansatz, wie ich diese Aufgabe bearbeiten kann?

Comments

Unterscheide die beiden Fälle
1. a ist Quadrat in Q
2. a ist kein Quadrat in Q
Prüfe die Körperaxiome.

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Bei Fall 1 könnte man die Wurzel dann doch wegkürzen, da ja a ein Quadrat ist. Bei Fall 2 dann stehen lassen.
Ich weiß aber jetzt so nicht, wie genau ich mit dem Beweis anfangen bzw. mit welcher Seite ich beginnen soll.

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Du musst da eig keine Fälle unterscheiden.

Rechne einfach nach dass + und * abgeschlossen sind. Dass du also auch immer ein Ergebnis der Form x+y*√a erhältst, wenn du zwei Elemente dieser Form addierst oder multiplizierst.

Assoziativität, Kommutativität, Dustributivgesetze vererben sich von den Operationen auf ℝ.

Checke dass die neutralen Elemente drin liegen: 0 und 1

Überprüfe das zu x+y*√a auch das additive und multiplikative Inverse (falls ≠0) (sind dieselben wie in ℝ) in der Menge liegt. Du kannst 1/( x+y*√a ) mit x-y*√a erweitern.

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Dass die Menge ein kommutativer Ring ist, dürfte klar sein.
Im Falle, dass a kein Quadrat ist muss aber gezeigt werden, dass

jedes Element \(\neq 0\) invertierbar ist.