Was gilt für die Wahrscheinlichkeit beliebiger Ereignisse A und B?

Question

Aufgabe:

Was gilt für die Wahrscheinlichkeit beliebiger Ereignisse \( A \) und \( B \) ?

a) \( P(A \cup B)=P(A)+P(B) \)

b) \( 0<P(A)<1 \)

c) \( P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \)

d) \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das leider nicht :(

zum Beispiel bei der a) wäre die Wahrscheinlichkeit das Ereignis A eintritt bei 30% und die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B Eintritt 20%, wieso ist dann die Wahrscheinlichkeit dass A oder B eintritt nicht gleich 50%???

Answer 1

c) und d) trifft zu.

Comments

Danke für die Antwort, könntest du bitte erläutern wie du darauf gekommen bist :D

Dankeschön!

Answer 2

Aloha :)

a) ist falsch. Die Mengen \(A\) und \(B\) können geimeinsame Fälle enthalten. Diese würden dann sowohl in \(P(A)\) als auch in \(P(B)\) berücksichtigt. Man musste daher ein Mal \(P(A\cap B)\) auf der rechten Seite wieder subtrahieren.

b) ist falsch. Wenn \(A\) die leere Menge ist, können auch keine Ereignisse für sie eintreten. Dann ist \(P(A)=0\). Wenn \(A\) alle möglichen Ereignisse enthält, muss ein Ereignis aus \(A\) eintreten. Dann ist \(P(A)=1\).

c) ist richtig. Denn die in a) angesprochene Subtraktion passiert hier.

d) ist richtig. Die beiden Extremfälle aus b) werden hier berücksichtigt.

Comments

Dankschön :)

bei der a) ist das dann so gemeint:
Das Ereignis tritt dann ein, wenn entweder A oder B eintritt, nicht beides. Also muss die Schnittmenge von A und B entfernt werden, da sonst die Aussage getroffen werden könnte: "sowohl A als auch B sind eingetreten"?

Text erkannt:

\( P(A \cup B) \)

---

Nicht ganz. Die Schnittmenge \(A\cap B\) ist ja sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten. Sie wird daher bei \(P(A)+P(B)\) doppelt gezählt und muss ein Mal subtrahiert werden.