Aloha :)
Der Nenner ist schon in Linearfaktoren zerlegt, sodass wir den Ansatz direkt angeben können:$$f(x)=\frac{8-8x}{(x-5)(x+3)}=\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x+3}$$
Nun multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit \((x-5)\). Das sieht so aus:$$\frac{8-8x}{x+3}=A+\frac{B}{x+3}\cdot(x-5)$$Jetzt kannst du \(x=5\) einsetzen, wobei der hintere Term wegällt und rechts A übrig bleibt:$$\frac{8-8\cdot5}{5+3}=A+\underbrace{\frac{B}{5+3}\cdot\underbrace{(5-5)}_{=0}}_{=0}\implies A=\frac{-32}{8}=-4$$
Nun kommt \(B\) dran. Dazu multiplizierst du die Gleichung mit \((x+3)\):$$\frac{8-8x}{x-5}=\frac{A}{x-5}\cdot(x+3)+B$$Wenn du nun \(x=-3\) einsetzt, bleibt rechts nur \(B\) übrig:$$\frac{8-8\cdot(-3)}{(-3)-5}=\underbrace{\frac{A}{(-3)-5}\cdot\underbrace{((-3)+3)}_{=0}}_{=0}+B\implies B=\frac{32}{-8}=-4$$
Die gesuchte Zerlegung ist also:$$f(x)=\frac{8-8x}{(x-5)(x+3)}=-\frac{4}{x-5}-\frac{4}{x+3}$$
Wenn du dir die Schreiberei sparen möchtest, kannst du die Rechnung auch im Kopf ausführen. Dazu blendest du die pink markierten Teile aus:$$\frac{8-8x}{\pink{(x-5)}(x+3)}=\frac{A}{\pink{x-5}}+\pink{\frac{B}{x+3}}\;\bigg|_{x=5}\implies A=\frac{8-8\cdot5}{5+3}=-4$$$$\frac{8-8x}{(x-5)\pink{(x+3)}}=\pink{\frac{A}{x-5}}+\frac{B}{\pink{x+3}}\;\bigg|_{x=-3}\implies B=\frac{8-8\cdot(-3)}{(-3)-5}=-4$$
