Zeige mit vollständiger Induktion, dass \((3n)! < n^{4n}\) für n > k gilt.
Finde dabei zunächst k.
Ansatz:
Es gilt n>=3, aber wie kann ich das am besten zeigen?
Für die eigentliche Induktion:
Induktionsanfang: A(3) ist erfüllt
Induktionsannahme: A(n) gilt für alle n>=3
Induktionsschritt:
\(A(n)\rightarrow A(n+1), \text{wobei} A(n+1) : (3\cdot(n+1))!<(n+1)^{4\cdot (n+1)}\)
\((3n+3)! = (3n+3)\cdot (3n+2) \cdot (3n+1) \cdot (3n)! < (3n+3)^3\cdot (3n)! < (3n+3)^3 \cdot n^{4n} \\ = 3^3\cdot (n+1)^3 \cdot n^{4n}\ < 27\cdot (n+1)^4\cdot n^{4n}\)
Wie zeige ich nun, dass \(27\cdot (n+1)^4\cdot n^{4n} < (n+1)^{4n}\cdot (n+1)^4\)