Zeige mit vollständiger Induktion, das (3n)!

Question

Zeige mit vollständiger Induktion, dass \((3n)! < n^{4n}\) für n > k gilt.

Finde dabei zunächst k.

Ansatz:

Es gilt n>=3, aber wie kann ich das am besten zeigen?

Für die eigentliche Induktion:

Induktionsanfang: A(3) ist erfüllt

Induktionsannahme: A(n) gilt für alle n>=3

Induktionsschritt:

\(A(n)\rightarrow A(n+1), \text{wobei} A(n+1) : (3\cdot(n+1))!<(n+1)^{4\cdot (n+1)}\)

\((3n+3)! = (3n+3)\cdot (3n+2) \cdot (3n+1) \cdot (3n)! < (3n+3)^3\cdot (3n)! < (3n+3)^3 \cdot n^{4n} \\ = 3^3\cdot (n+1)^3 \cdot n^{4n}\ < 27\cdot (n+1)^4\cdot n^{4n}\)

Wie zeige ich nun, dass \(27\cdot (n+1)^4\cdot n^{4n} < (n+1)^{4n}\cdot (n+1)^4\)

Answer 1

Wie zeige ich nun, dass \(27\cdot (n+1)^4\cdot n^{4n} < (n+1)^{4n}\cdot (n+1)^4\)

Wäre es nicht sinnvoll, beide Seiten durch (n+1)^4 zu teilen?

Comments

Kann ich sicher machen, aber ich habe dann halt

\(27\cdot n^{4n} < (n+1)^{4n}\)

Ist immer noch direkt sichtbar, dass das stimmt.

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Teile durch \(n^{4n}\).

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\(27 < (1+\frac{1}{n})^{4n}\)

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Die rechte Seite konvergiert gegen e^4≈54,5 und ist damit irgendwann mal (sogar schon für n=3) größer als 27.

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Hmm Danke, aber direkt sieht man es ja wiederum nicht, dass es ja schon ab 3 größer ist.

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Ich habe mir halt die Mühe gemacht und 3 eingesetzt...

Außérden weiß ich, dass die Folge \( (1+\frac{1}{n})^{n}\) monoton wächst und somit mit der Gültigkleit für n=3 die Ungleichung \(27 < (1+\frac{1}{n})^{4n}\) auch für n>3 erfüllt ist.