Zeige dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ℝ2 ist.

Question

Aufgabe:

Zeige dass folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ℝ² ist.

R={(x₁,y₁ ), (x₂,y₂ )) ∈ ℝ² x ℝ² | x₁² +y₁² = x₂²+y₂²}

Problem/Ansatz:

Eine Äquivalenzrelation muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein; klar.

Ich weiss auch, dass reflexiv bedeutet, dass zB das erste element zu sich selbst in relation steht, also dass meine rechenvorschrift a+b=43 wäre, 0+43 zwar 43 ergibt, aber 0+0 nicht 43 ist und damit wäre diese relation nicht reflexiv.

Hier hatte ich mir zB überlegt, dass x2^2+y2^2=13 sein könnten, da x2=2 und y2=3.

Dabei könnte mein x1=3 sein und y1=2

Aber x1^2+x1^2= 18 und somit wäre die relation ja nicht mehr reflexiv.

Wo liegt mein Fehler?

Comments

Zur Reflexivität:

\(x_1^2+y_1^2=x_1^2+y_1^2\; \forall (x_1,y_1)\in \mathbb{R}^2\).,

also \((x_1,y_1)\sim (x_1,y_1)\)

Was spricht dagegn?

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Weil doch x1^2+x1^2=x2^2+y2^2 sein muss um reflexiv zu sein

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Nein: Es muss jedes Paar mit sich selbst in Relation stehen.

Es geht nicht um eine Relation zwischen x und y, sondern um eine

Relation zwischen Paaren (x,y).

Und jedes solche Paar steht mit sich selbst in Relation:

\(x^2+y^2=x^2+y^2\), also \(((x,y),(x,y))\in R\)

für beliebige \((x,y)\in \mathbb{R}^2\).

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Ah okay, super, dann habe ich das mit der reflexivität nicht richtig verstanden gehabt.

Kannst du mir evtl auch erklären, warum die relation transitiv ist?

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Ich schreibe die Transitivität als Antwort.

Answer 1

Sei \(((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in R\) und \(((x_2,y_2),(x_3,y_3))\in R\).

Dann bedeutet dies:

\(x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2\) und \(x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2\)

und wegen der Transitivität von "\(=\)" folgt daraus

\(x_1^2+y_1^2=x_3^2+y_3^2\), also \(((x_1,y_1),(x_3,y_3))\in R\).

Comments

super, vielen dank, du hast mir sehr geholfen!