Wie kann also die Funktion trotzdem bijektiv sein?

Question

Hallo Leute,

Ich bin folgender Aufgabe nicht sicher. Wir haben folgende Funktion, die von \(\mathbb{N}_{0} \) auf \(\mathbb {Z} \) abbildet:

f(x) = falls x gerade: x/2
    = falls x ungerade -(x+1)/2

Dabei heißt, dass die Funktion bijektiv sein soll. Aber bereits beim Beweisen der Injektivität ist mir aufgefallen, dass es insgesamt 4 Fälle gibt:

1. Fall, wenn beide x1 und x2 gerade sind (Hier gilt Injektivität)

2. Fall, wenn beide x1 und x2 ungerade sind (Hier gilt auch Injektivität)

3. Fall, wenn x1 gerade und x2 ungerade ist

4. Fall, wenn x1 ungerade und x2 gerade ist

Bei dem 3. und 4. Fall gilt die Injektivität nicht. Wie kann also die Funktion trotzdem bijektiv sein?

Answer 1

Natürlich ist das bijektiv.

Jeder geraden natürlichen Zahl wird ihre (positive) Hälfte zugeordnet.

Verschiedene gerade Zahlen haben verschiedene Hälften. Damit besteht nicht die Gefahr, dass zwei verschiedenen geraden Zahlen die gleiche Hälfte zugeornet wird.

Verschiedenen ungeraden Zahlen werden verschiedene negative Zahlen zugeordnet.

Die 1 erhält -1, die 3 erhält -2, die 5 erhält -3 usw.

Damit besteht weder die Gefahr, das zwei ungeraden Zahlen die gleiche negative Zahl zugeordnet wird noch die Gefahr, dass einer geraden und einer ungeraden Zahl die gleiche Zahl zugeordnet wird.

Nun kehren wir die Zuordnung um: Jede natürliche Zahl erhält ihr (gerades) Doppeltes. Damit sind alle geraden natürlichen Zahlen Bilder. Jede ganze negative Zahl erhält eine ungerade natürliche Zahl (-1 erhält 1, -2 erhält 3, -3 erhält 5 usw.)

Wo siehst du das Problem?