Beweise, dass das Integral von 0 bis 2 von der Funktion f:x -> ax-a ; x ∈ ℝ, für beliebige Werte von a = 0 ist.

Question

Aufgabe:

Beweise, dass das Integral von 0 bis 2 von der Funktion f:x -> ax-a ; x ∈ ℝ, für beliebige Werte von a = 0 ist.

Wie kann man beweisen, dass gilt

$$\huge\int^2_0 (ax-a)\,dx = 0$$

Answer 1

\( \int \limits_{0}^{2}(a \cdot x-a) \cdot d x=\int \limits_{0}^{2} a \cdot(x-1) \cdot d x=\left[a \cdot\left(\frac{1}{2} x^{2}-x\right)\right]_{0}^{2}=[a \cdot(2-2)]-[a \cdot 0]=[a \cdot 0]-[a \cdot 0]=0 \)

Comments

Ja das habe ich auch so hinbekommen.

Für (ax - a)^n ; n ist eine positive, ungerade, ganze Zahl

scheint das auch zu gelten. Wie kann man das beweisen? Ich weiß nicht wie ich das mit der Klammer hoch n integrieren soll.

---

\( (a x-a)^{n} ; n \) ist eine positive, ungerade, ganze Zahl.
\( \int \limits_{0}^{2}(a x-a)^{n} \cdot d x=\int \limits_{0}^{2}[a \cdot(x-1)]^{n} \cdot d x=\int \limits_{0}^{2} a^{n} \cdot(x-1)^{n} \cdot d x=a^{n} \cdot \int \limits_{0}^{2}(x-1)^{n} \cdot d x \)
Substitution: \( x-1=u \rightarrow \rightarrow x=u+1 \rightarrow \rightarrow d x=1 \cdot d u \)
\( a^{n} \cdot \int u^{n} \cdot d u=a^{n} \cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}=a^{n} \cdot \frac{u^{n} \cdot u}{n+1} \)
und zurück:
\( a^{n} \cdot \int \limits_{0}^{2}(x-1)^{n} \cdot d x=\left[a^{n} \cdot \frac{(x-1)^{n} \cdot(x-1)}{n+1}\right]_{0}^{2}=\left[a^{n} \cdot \frac{(2-1)^{n} \cdot(2-1)}{n+1}\right]-\left[a^{n} \cdot \frac{(0-1)^{n} \cdot(0-1)}{n+1}\right]= \)
\( =\frac{a^{n} \cdot(1 \cdot 1)}{n+1}-\left[a^{n} \cdot(-1)^{n} \cdot\left(\frac{-1}{n+1}\right)\right]=\frac{a^{n}}{n+1}+a^{n} \cdot \frac{(-1)^{n}}{(n+1)} \)
Wenn nun \( n \) eine ungerade ganze Zahl sein soll, so wird \( (-1)^{n} \) eine negative Zahl
\( \frac{a^{n}}{n+1}-\frac{a^{n}}{n+1}=0 \)

---

\( a^{n} \cdot \int u^{n} \cdot d u=a^{n} \cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}=a^{n} \cdot \frac{u^{n} \cdot u}{n+1} \)

Hat es einen tieferen Sinn, dass du hier

\( a^{n} \cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}\) zurückentwickelst zu \( a^{n} \cdot \frac{u^{n} \cdot u}{n+1} \)  ?

Ich sehe in der Folgerechnung keinen Vorteil dieser Aktion...

---

Hat es einen tieferen Sinn, dass du hier
\( a^{n} \cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}\) zurückentwickelst zu \( a^{n} \cdot \frac{u^{n} \cdot u}{n+1} \)  ?

Der tiefere Sinn liegt für mich darin, dass ich einen Term wie \( a^{n} \cdot \frac{u^{n} \cdot u}{n+1} \)  handlicher für die "Re-substitution" finde.

---

Der tiefere Sinn liegt für mich darin, dass ich einen Term wie \( a^{n} \cdot \frac{u^{n} \cdot u}{n+1} \)  handlicher für die "Re-substitution" finde.

Stimmt. \((x-1)^n·(x-1)\) ist deutlich übersichtlicher und handlicher

als \((x-1)^{n+1}\).

Answer 2

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt (1|0).

Wegen der ebenfalls zu x=1 symmetrischen Integrationsgrenzen sind die Flächen unterhalb und oberhalb der x-Achse gleich.

Answer 3

Die Stammfunktion ist:

F(x) = ax^2/2 -ax + C (C=Konstante)

F(2) = 2a-2a+C = C

F(0) = C

F(2)-F(0)= C-C = 0 für alle rellen x.

Answer 4

f(x) = a·x - a

F(x) = a/2·x^2 - a·x

∫ (0 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(0) = (a/2·2^2 - a·2) - (a/2·0^2 - a·0) = 2·a - 2·a = 0