Hallo,
die Idee mit Dynkinsystemen ist schonmal ganz gut. Allerdings sind \(G\) und \(H\) ja nur die Erzeuger und damit im Allgemeinen sicherlich kein Dynkinsystem. (z.B. erzeugt die Menge der offenen Intervalle die Borel-Sigma-Algebra auf \(\R\) ist aber selber kein Dynkinsystem). Es gilt aber folgender
\(\bold{Satz:}\) Sei \(\Omega\neq\emptyset\) eine Menge und \(\mathcal M\subseteq\mathcal P(\mathcal M)\) ein durchschnittstabiles Mengensystem. Dann gilt \(\delta(\mathcal M)=\sigma(\mathcal M)\).
Dabei ist \(\delta(\mathcal M)\) das von \(\mathcal M\) erzeugte Dynkinsystem. Das ist hilfreich, da es oftmals einfacher ist, zu zeigen dass ein Mengensystem ein Dynkinsystem ist als zu zeigen, dass es eine Sigma-Algebra ist.
Sei jetzt also \((E,\mathcal A,\mathbb P)\) ein W-Raum, \(G,H\subseteq\mathcal A\) durchschnittstabil.
Die Strategie ist nun die folgende:
Wir definieren uns einfach \(\tilde G\subseteq \mathcal A\) als Menge aller Mengen mit der gewünschten Eigenschaft und hoffen, dass \(\tilde G\) ein Dynkinsystem ist. Wenn dann z.B. \(G\subseteq \tilde G\) dann ist nach dem Satz auch \(\sigma(G)=\delta(G)\subseteq\delta(\tilde G)=\tilde G\) und das ist es ja, was wir wollen.
Konkret zeigen wir erstmal $$ \mathbb P(g\cap h)=\mathbb P(g)\mathbb P(h)\quad\forall g\in G,\,h \in H\quad\Rightarrow \quad\sigma(G),\, H\, \text{unabhängig}$$
Wie schon gesagt definieren wir \(\tilde G\) dann als "Menge der guten Mengen" also:$$ \tilde G:=\{a\in\mathcal A\,|\,\mathbb P(a\cap h)=\mathbb P(a)\mathbb P(h)\quad \forall h\in H\}$$
Nach Voraussetzung ist dann schonmal \(G\subseteq \tilde G\) es bleibt also zu zeigen, dass \(\tilde G\) ein Dynkinsystem ist.
Das würde ich erstmal dir überlassen, mit den Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsmaße ist das auch relativ einfach.
Nimm dir ruhig ein bisschen Zeit die Strategie zu verstehen, das am Anfang vielleicht etwas schwierig. Sie taucht aber in der Wahrscheinlichkeitstheorie immer mal wieder auf.
LG Dojima
