Aloha :)
Die von den beiden Funktionen$$f(x)=\frac{x^2}{a}-a=\frac{x^2-a^2}{a}\quad\text{und}\quad g(x)=x^2-a^2\quad\text{mit}\quad a\in(0;1)$$eingeschlossene Fläche findest du, indem du die Differenzfunktion$$d(x)\coloneqq f(x)-g(x)=\frac{\pink{(x^2-a^2)}}{a}-\pink{(x^2-a^2)}=\left(\frac1a-1\right)\pink{(x^2-a^2)}=\frac{1-a}{a}(x^2-a^2)$$von einer Nullstelle zur anderen integrierest.
Die Nullstellen folgen mit der 3-ten binomischen Formel:$$0\stackrel!=d(x)=\frac{1-a}{a}(x^2-a^2)=\frac{1-a}{a}\cdot(x-a)\cdot(x+a)\implies x_{1;2}=\pm a$$sodass wir das Integral für die Fläche wie folgt formulieren können:$$A=\left|\int\limits_{-a}^a\frac{1-a}{a}(x^2-a^2)\,dx\right|=\left|\frac{1-a}{a}\int\limits_{-a}^a(x^2-a^2)\,dx\right|=\left|\frac{1-a}{a}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{x=-a}^a\right|$$$$\phantom A=\left|\frac{1-a}{a}\left(-\frac23a^3-\frac23a^3\right)\right|=\left|\frac{1-a}{a}\left(-\frac43a^3\right)\right|=\frac43a^2(1-a)=\frac43(a^2-a^3)$$
Die Fläche \(A(a)\) wird an den Stellen extremal, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=A'(a)=\frac43(2a-3a^2)=\frac43a(2-3a)\implies a=0\;\lor\;a=\frac23$$Der Fall \(a=0\) scheidet aus, da ja \(0<a<1\) gelten soll.
Wir müssen aber noch zeigen, dass bei \(a=\frac23\) tatsächlich ein Minimum vorliegt, indem wir den Wert in die zweite Ableitung einsetzen:$$A''(a)=\frac43(2-6a)\implies A''\left(\frac23\right)=\frac43\cdot(2-4)=-\frac83<0\implies\text{Maximum}$$
Tja, jetzt haben wir ein Problem. Bei \(a=\frac23\) liegt zwar ein Extremum der Fläche vor, aber dieses Extremum ist ein Maximum und kein Minimum.
