Zeigen Sie, dass der arithmetische Mittelwert die quadratischen Abstände der empirischen Varianz minimiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass der arithmetische Mittelwert b = x mit Dach die quadratischen Abstände der empirischen Varianz

f(b) = \( \sum\limits_{i=1}^{N}{(xi - b)^2} \) minimiert.  Beim xi handelt es sich um das x_i,es lässt sich nicht mit der Formel darstellen.

Ich habe leider gar keinen Ansatz, wie ich es lösen könnte, kann mir jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Die Extremwerte der Funktion$$f(b)=\sum\limits_{i=1}^N(x_i-b)^2=\sum\limits_{i=1}^N(x_i^2-2bx_i+b^2)$$müssen wir dort suchen, wo die Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=f'(b)=\sum\limits_{i=1}^N(-2x_i+2b)=-2\sum\limits_{i=1}^Nx_i+2\sum\limits_{i=1}^Nb=-2\sum\limits_{i=1}^Nx_i+2Nb\quad\bigg|-2Nb$$$$-2Nb=-2\sum\limits_{i=1}^Nx_i\quad\bigg|\div(-2N)$$$$b=\frac1N\sum\limits_{i=1}^Nx_i=\overline x$$

Für \(b=\overline x\) wird \(f(b)\) tatsächlich extremal.

Wir prüfen noch mit Hilfe der 2-ten Ableitung, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt:$$f''(b)=\sum\limits_{i=1}^N2=2N>0\implies\text{Minimum}$$