Arithmetisches Mittel beweisen (Mittelwert)

Question

Aufgabe:

Man soll zeigen dass

\( \overline{a}=\bar{b}+\bar{c} \) gilt

Problem/Ansatz:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}=\sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}+\sum \limits_{k=1}^{n} c_{k} \)
\( n \cdot \overline{a}=n \overline{b}+n \cdot \overline{c}\)
\( n \cdot \overline{a}=n \cdot(\bar{b}+\bar{c}) \)
\( \overline{a}=\bar{b}+\bar{c} \)

Comments

Welche Voraussetzungen werden für \(b_k\) und \(c_k\) gemacht? Gilt $$a_k = b_k + c_k \quad \forall k$$??

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beide treten in der gleichen Urliste auf, wenn es das ist was du meinst

Also

ak=bk+ck, also zb b1,b2,b3 usw

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beide treten in der gleichen Urliste auf

beide was? es sind drei Mengen \(a_k\), \(b_k\) und \(c_k\). Wenn die \(b_k\) und/oder \(c_k\) nur Untermengen einer gemeinsamen Urliste mit \(a_k\) sind, dann stimmt obige Gleichung nicht. Einfachstes Beispiel: \(a_k=b_k=c_k = 1\). Welchen Vorgaben aus Deiner Aufgabe widerspricht dies?

Es muss ja noch irgendwie einen additiven Zusammenhang zwischen b, c und a geben - oder?

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Tut mir leid, bk seien beobachtungswerte b1.. bk der urliste mit kardinalen messniveau, ck sind weitere beobachtungswerte aus der urliste für ein zweites merkmal, auch kardinales messniveau

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bk seien beobachtungswerte b1.. bk der urliste mit kardinalen messniveau, ck sind weitere beobachtungswerte aus der urliste für ein zweites merkmal, auch kardinales messniveau

also stimmt das nicht ??

ak=bk+ck, also zb b1,b2,b3 usw

Was heißt 'kardinales Messniveau'?

Answer 1

Man soll zeigen, dass $$\overline a = \overline b + \overline c$$Wenn $$a_k = b_k + c_k \quad \forall k \in\{1 \dots n\}$$Das ist doch recht einfach:$$\begin{aligned} \overline a &= \frac 1n \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \\ &= \frac 1n \sum \limits_{k=1}^{n} (b_{k} + c_k)  \\&= \frac 1n \sum \limits_{k=1}^{n} b_{k}+ \frac 1n \sum \limits_{k=1}^{n} c_{k} \\&= \overline b + \overline c \end{aligned}$$

Comments

Meins wäre nicht richtig gewesen?

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Meins wäre nicht richtig gewesen?

Na ja - wie kommst Du auf die erste Zeile? Woraus schließt Du das?

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Ich habe einfach die formel für den mittelwert umgeschrieben und halt nach x umgeformt (also 1/n aufgelöst mit mal n)

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Ich habe einfach die formel für den mittelwert umgeschrieben und halt nach x umgeformt (also 1/n aufgelöst mit mal n)

D.h. Du hast den Term \(\overline a = \overline b + \overline c\) vorausgesetzt. Also hast Du gezeigt, wenn $$\overline a = \overline b + \overline c \implies \overline a = \overline b + \overline c$$Das ist nicht sehr aussagekräftig ;-) Damit ist nichts bewiesen.

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Ich habe doch nur den mittelwert vorausgetzt, was soll den daran falsch sein?

Ich habe doch nur die mittelwert formel umgeformt, der mittelwert war doch sowieso definiert

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Es sei noch darauf hingewiesen, dass alle Werte \(a_k\), \(b_k\) und \(c_k\) von einer Kardinalskala stammen müssen. Nur dann ist die Addition \(b_k+c_k=a_k\) überhaupt zulässig und nur dann existiert auch ein Mittelwert.

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Ich habe doch nur den mittelwert vorausgetzt, was soll den daran falsch sein?

Da ist nichts dran falsch. Wenn Du den Mittelwert voraussetzt sähe es so aus:$$\overline a = \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k$$aber anschließend hast Du das in die Gleichung eingesetzt, die Du eigentlich beweisen sollst.

Mal angenommen, Du willst zeigen, dass \(2 = 3 + 4\) ist. Du hast jetzt mit \(n\) malgenommen \(2n=3n+4n\) dann \(n\) ausklammern und wieder durch \(n\) teilen $$\implies 2 = 3 + 4$$stimmt also - oder ;-)