Zeigen Sie: Wenn es eine Abbildung g : Z → D mit der Eigenschaft

Question

Aufgabe:

Sei f : D → Z eine Abbildung.
Zeigen Sie: Wenn es eine Abbildung g : Z → D mit der Eigenschaft
∀z ∈ Z : f(g(z)) = z
gibt, dann ist f surjektiv. (Eine solche Abbildung g heißt ggf. Rechts-Inverse von f .)
a)
Zeigen Sie: Wenn es eine Abbildung h : Z → D mit der Eigenschaft
∀x ∈ D : h(f(x)) = x
gibt, dann ist f injektiv. (Eine solche Abbildung g heißt ggf. Links-Inverse von f .)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe überhaupt nicht was ich hier machen soll. Habe sämtliche Erklärungsvideos angeguckt, nichts hat geholfen. Ich kann nicht mehr, kann mir das irgendwer erklären?

Answer 1

Sei f : D → Z eine Abbildung und  g : Z → D eine
Abbildung mit der Eigenschaft  ∀z ∈ Z : f(g(z)) = z.

Um zu zeigen, dass f surjektiv ist , musst du zeigen:

Sei z ∈ Z , dann gibt es d∈D mit f(d)=z.

Nun gilt aber f(g(z)) = z, also ist g(z) so ein d.   q.e.d.

Entsprechend für den anderen Teil musst du zeigen:

Wenn es eine Abbildung h : Z → D mit der Eigenschaft
∀x ∈ D : h(f(x)) = x  gibt.

Dann muss du für die Injektivität von f zeigen:
Sind c und d aus D mit f(c)=f(d) dann folgt c=d.

Da c und d aus D gilt also h(f(c)) = c und h(f(d)) = d

wegen f(c)=f(d)=y also h(y)=c und h(y)=d

Und weil h eine Abbildung ist, gilt c=d.  q.e.d.

Comments

Wie würde ich das aufschreiben als Beweis?

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Hab ich doch vorgemacht.

Statt z.B. "Dann muss du für die Injektivität von f zeigen:"

Wäre dann aber besser "Die Injektivität von f zeige ich so:"