Summenformel per Induktion beweisen

Question

Aufgabe:

Zu zeigen:

\( \left\langle\left(\sum \limits_{j=1}^{n} x_{j}\right)^{2}\right\rangle=\sum \limits_{j=1}^{n}\left\langle x_{j}^{2}\right\rangle+2 \sum \limits_{i=1}^{n-1} \sum \limits_{j=1}^{n-i}\left\langle x_{i} x_{j}+1\right\rangle \)

Obige Aussage ist zu zeigen per Induktion.

Problem/Ansatz:

Den Induktionsanfang habe ich schon durchgeführt. DIe Induktionsbehauptung steht unten:

\( \left\langle\left(\sum \limits_{j=1}^{n+1} x_{j}\right)^{2}\right\rangle=\sum \limits_{j=1}^{n+1}\left\langle x_{j}^{2}\right\rangle+2 \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n+1-i}\left\langle x_{i} x_{j}+1\right\rangle \)

Ich habe jedoch keinen Ansatz für den Induktionsschritt. Wäre super wenn jemand mir einen Tipp geben könnte. :)

Comments

Handelt es sich bei den x_i um reelle Zahlen? Was bedeuten die spitzen Klammern?

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Ich denke es handelt sich um reelle Zahlen. Wurde hier zumindest nicht weiter spezifiziert. Die spitzen Klammern stellen denke ich den Mittelwert des Ausdrucks dar.

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Was soll denn dann \(\left\langle x_{j}^{2}\right\rangle \) bedeuten?

Mittelwert von einer Zahl ???

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Den Induktionsanfang habe ich schon durchgeführt.

den solltest Du vielleicht mal zeigen. Z.B. für \(n=2\)$$\left<(x_1+x_2)^2\right>= \left<x_1\right>^2 + \left<x_2\right>^2 + 2\left<x_1x_2 + 1\right>$$und erklären warum das gleich ist.

Die spitzen Klammern stellen denke ich den Mittelwert des Ausdrucks dar.

Der Mittelwert einer einzelnen reellen Zahl ist die Zahl selbst - oder?

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Sollte (!) der Ausdruck des Fragestellers stimmen, dann steht rechts etwas anderes.

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Vermutlich heißt es in der Summe rechts nicht x_ix_j + 1  sondern x_ix_j+i

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Ja es kann gut sein das die 1 dort in den Index gehört. Das würde zumindest einiges erklären.

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Was soll eine 1 im Index denn erklären ?

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Hier zeigt sich (wie so oft) das Mathematik im Wesentlichen in der Kunst des richtigen Abschreibens besteht

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Aus einem falschen Abschrieb das Richtige herauszulesen ist auch eine Kunst.

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Aus einem falschen Abschrieb das Richtige herauszulesen ist auch eine Kunst.

das nennt man dann höhere Mathematik ;-)

Ja es kann gut sein das die 1 dort in den Index gehört.

das ist aber noch nicht alles. Wenn der Term so aussehen sollte$$\left(\sum \limits_{j=1}^{n} x_{j}\right)^{2}=\sum \limits_{j=1}^{n} \left(x_{j}^{2}\right)+2 \sum \limits_{i=1}^{n-1} {\color{red}\sum \limits_{j=i}^{n-1}} x_{i} x_{j+1}$$dann wird ein Schuh draus. Und die komischen Klammern wären dann schlicht Klammern, die man hier evt. auch weglassen kann.

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Ist tatsächlich nicht falsch abgeschrieben, der Übungsleiter ist in diesem Fall Schuld. ;)

Ich bin mir in diesem Fall eben nicht sicher was die eckigen Klammern bedeuten. Die Aufgabe wurde in meinem Kurs "Statistische Physik" gestellt. Es wäre also naheliegend, dass es sich hier um Erwartungswerte oder irgendwelche Ensemblemittel handelt.

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Ok - und wie bist Du ohne Kenntnis der Funktion der spitzen Klammern zum Induktionsanfang gekommen?

Zitat:

Den Induktionsanfang habe ich schon durchgeführt.

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Für n=1 funktioniert alles Prima auch ohne Kenntnis der Klammern. Bei n=2 wird das wie oben schon einmal erwähnt schwieriger.

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Ok - und wie bist Du ohne Kenntnis der Funktion der spitzen Klammern zum Induktionsanfang gekommen?

Eine Kenntnis ist dort nicht erforderlich.

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Eine Kenntnis ist dort nicht erforderlich.

Schon klar, Ich dachte auch eher an \(n=2\) (s.o.)