Aufgabe:
Im folgenden bezeichnen wir als AB die Strecke zwischen zwei verschiedenen Punkten A und B in der Ebene, und das Dreieck zwischen drei paarweise verschiedenen Punkten A, B und C als ABC, wobei wir die Punkte A, B und C als die Ecken des Dreiecks und die Strecken AB, BC und AC als die Seiten von ABC bezeichnen. Wir bezeichnen die
Seitenlänge einer Seite bzw. die Länge einer Strecke AB als AB. Wir definieren weiterhin den (Innen-)Winkel an einer Ecke des Dreiecks als den Winkel zwischen den beiden an die Ecke anliegenden Seiten.
ZU ZEIGEN Alle Dreiecke sind gleichschenklig. (keine wahr Aussage)
Hierbei gelten die folgenden von Euklid hergeleiteten Sätze als gegeben und wahr:
- die Kongruenzsätze (siehe Wikipedia )
- eine Strecke AB kann immer (in beide Richtungen) beliebig lange fortgesetzt werden
- zwei Strecken heiß parallel, falls es keine Erweiterungen dieser Strecken gibt, die sich schneiden
- für jede Strecke AB existiert ein Punkt M auf AB so, dass AM = MB.
- für eine Strecke AB und einen Punkt C auf AB, existiert eine Strecke durch C, die AB in einem rechten Winkel (in C) schneidet
- für jede Strecke AB und einen Punkt C, der nicht auf einer Fortsetzung von AB liegt, existiert eine Strecke, die C enthält und (eine Fortsetzung von) AB im rechten Winkel schneidet
- ist AC eine Fortsetzung der Strecke AB, so gilt AB + BC = AC, AC − AB = BC.
- für zwei Strecken AB, AC existiert ein Punkt D so, dass die Strecke AD den Winkel zwischen AB und AC halbiert, d.h. der Winkel zwischen AB und AD entspricht dem Winkel zwischen AD und AC. Wir nennen AD eine Winkelhalbierende.
- zwei parallele Strecken AB und BC schneiden jede nicht zu AB parallele Strecke im gleichen Winkel
Problem/Ansatz:
Sei ABC ein Dreieck. Sei D ein Punkt (zwischen AB und AC) so, dass AD den Winkel zwischen AB und AC halbiert. Nun erweitern wir die Strecke AD gegebenenfalls so, dass sie die Seite BC in einem Punkt U schneidet. Die Aussage ist bewiesen, falls wir zeigen können, dass AB = AC. Wir unterscheiden nun zwei Fälle:
1. Angenommen AU und BC schneiden sich in eine rechten Winkel. Betrachten wir die Dreiecke ABU und ACU, so besitzen diese zwei gleiche Winkel per Konstruktion (die Winkel zwischen AB, AU und AC, CU sind per Konstruktion gleich, und die Winkel zwischen AU, BU und AU, CU sind per Annahme rechte Winkel ) mit einer gemeinsamen Seite AU. Damit folgt auch AC = BC aus den Kongruenzsätzen (WSW).
2. Angenommen AU und BC schneiden sich nicht in einem rechten Winkel. Sei nun M der Punkt, der die Strecke BC halbiert und sei l eine Strecke durch M, die BC im rechten Winkel schneidet. Dann können wir AU und l geeignet erweitern, so dass diese sich in einem Punkt O schneiden. Wir unterscheiden abermals mehrere Fälle:
2.1. Angenommen O liegt im inneren des Dreiecks ABC. Wir betrachten die rechtwinkligen Dreiecke BMO und CMO. Wir bemerken, dass BM = CM und sie eine gemeinsame Seite MO besitzen. Mit dem Satz von Pythagoras folgt BO = CO. Wir konstruieren nun Punkte F auf AB und G auf AC so, dass sich F O und AB bzw. GO und AC in einem rechten Winkel schneiden. Wir betrachten die rechtwinkligen Dreiecke AF O und AGO. Per Konstruktion sind die Winkel zwischen AF, AO und AG, AO gleich (sie entsprechen den Winkeln AB, AU und AC, AU), und die Dreiecke besitzen die gemeinsame Seite AO. Aus den Kongruenzsätzen (SWW) folgt, dass AF = AG, F O = GO. Insbesondere gilt für die rechtwinkligen Dreiecke BF O, CGO, dass BO = CO und F O = GO. Aus dem Satz von Pythagoras folgt BF = CG. Also gilt AB = AF + AF = CG + AG = AC.
2.2. Angenommen O liegt auf BC, d.h. O = M = U. Wir argumentieren wie zuvor. Wie in 2.1. konstruieren wir die Punkte F auf AB und G auf AC, wie zuvor. Aus den rechtwinklige Dreiecken AF O und AGO folgern wir wieder , dass AF = AG, F O = GO mit den Kongruenzsätzen (SWW). Mit dem Satz des Pythagoras folgt nun wieder, dass BF = CG, indem wir die rechtwinkligen Dreiecke BF O und GOC betrachten. Insgesamt folgt AB = AF + AF = CG + AG = AC.
2.3. Angenommen O liegt außerhalb von ABC. Wir erweitern nun die Seiten AB und AC geeignet und betrachten wieder die Punkte F und G, sodass F O, GO die Erweiterungen von AB und AC in einem rechten Winkel schneiden. Ansonsten verfahren wir wie in 2.1. . D.h. wir folgern zunächst, dass BO = CO, indem wir die rechtwinkligen Dreiecke BMO und CMO betrachten (SWS). Indem wir die rechtwinkligen Dreiecke AF O und AGO betrachten, folgern wir wieder AF = AG und F O = GO (SWW). Zuletzt folgern wir abermals BF = CG aus dem Satz von Pythagoras. Diesmal ergibt sich AB = AF − BF = AG − CG = AC.
Stimmt dieser Beweis ?
