Aufgabe:
Sei Y eine reelle Zufallsvariable mit Dichte f, welche gegeben ist durch:
$$f(x) = \begin{pmatrix} 6x*(1-x), wenn 0 \leq x \leq 1 \\ 0, sonst \end{pmatrix}$$
Bestimme die Verteilungsfunktion!
Problem/Ansatz:
Könnte mir jemand sagen, ob mein Lösungsweg falsch ist? Irgendwie bin ich mir da noch unsicher mit den Intervallen.. Bzw. der Schreibweise des ganzen...
Dank im Voraus!
Für x < 0 gilt:
$$F_y(Y) = \int \limits_{-\infin}^{x} 0 = 0$$
Für 0 <= x <= 1 gilt:
$$ F_y(Y) = \int \limits_{-\infin}^{0} 0 + \int \limits_{0}^{x}-6t^2 + 6t$$
= -2x³ + 3x²
Für x > 1 gilt:
$$F_y(Y) = \int \limits_{-\infin}^{0} 0 + \int \limits_{0}^{1}-6x^2 + 6x + \int \limits_{1}^{x}0$$
Ergibt dann:
$$F_y(Y) = \begin{pmatrix} 0, wenn x < 0 \\-2x^3+3x^2, wenn 0 \leq x \leq 1 \\ 1, wenn x> 1 \\ \end{pmatrix} 0$$
