Aufgabe:
Gegeben ist die zweistellige Funktion
: N+ × N+ → N+, (e, d) 7→ e · d + 1
auf den natürlichen Zahlen, die Sie als Operator in Infix-Notation (also e d statt (e, d))
schreiben können.
a) Zeigen Sie oder widerlegen :
I ) ist kommutativ.
II ) ist assoziativ.
Bezeichne im Folgenden Z2 = {0, 1}. Die Menge Z2 n ist demnach die Menge der Bitfolgen
der Länge n ∈ N+. Für jedes n ∈ N+ ist der Operator ∇n (wieder in Infixnotation notierbar) folgendermaßen definiert:
∇n : Z2^n × Z2^n → Z2^n,
(v, w) → z
mit z(i) = 1 gdw. w(i) = 1 und v(i) = 1 für 0 ≤ i < n.
b) Zählen Sie alle Wörter w ∈ Z2^3 auf, bei denen in w ∇3 001 genau eine 1 vorkommt.
c) Geben Sie die Mächtigkeit der Menge {x ∈ Z2^n | x ∇n 0^(n−1)1 ̸= 0 n} in Abhängigkeit von n > 1 an.
d) Zeigen Sie oder widerlegen Sie für alle n ∈ N+:
I ∇n ist kommutativ.
II ∇n ist assoziativ.
Problem/Ansatz:
Bei der a) hab ich das Kommutativgesetz so bewiesen, indem ich e und d vertauscht habe und dann bewiesen habe, dass beide Varianten gleich sind.
Bei der b) bin ich dann von einem Wort mit der länge 4 ausgegangen, da w und v mit dem kartesischem Produkt verrechnet werden.
