Ebenengleichung aufstellen in Koordinatenform

Question

Aufgabe:

Haus am Hang: Ebene E: y+10z=0. E stellt einen Hang dar, auf dem ein Haus errichtet werden soll. Wegen der Hanglage muss eine Bodenplatte errichetet werden, die parralel zur x-y-Ebene ist. Eckpunkte der Bodenplatte: A (10/4/0,5) B(0/4/0,5) C (0/-5/0,5) D (10/-5/0,5). Dach des Hauses reicht an zwei Seiten bis auf Bodenplatte runter ("Nur-Dach-Haus"). Vordere und hintere Dachspitze S (5/4/8) und T (5/-5/8). Längeneinheit entspricht 1m.

c) Die Geschossdecke verläuft 2,5m oberhalb der Bodenplatte. Berechenen Sie die vier Eckpunkte der Decke und die Größe der Deckenfläche.

Da die Geschossdecke 2,5 LE höher als die Bodenplatte ist ist z=3. Aber wie komme ich auf die Ebene?

Probiert habe ich es damit, dass ich mir drei Punkte genommen habe (A;B;C) und die Ebene in Parameterform angeben habe.
\( E_{ABC} : \vec{x}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 4 \\ 0,5\end{array}\right) + r \begin{pmatrix} -10\\0\\0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -10 \\ -9 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Aber wenn ich diese in Koordinatenform umwandle, dann ergibt es keinen Sinn.

Answer 1

Ich nehme mal die Parameterdarstellung ungeprüft und wandel sie in die Koordinatenform.

X = [10, 4, 0.5] + r * [-10, 0, 0] + s * [-10, -9, 0]

Zunächst brauchst du den Normalenvektor, der Senkrecht zu den Richtungsvektoren ist. Das einfachste ist hier das Kreuzprodukt zu nehmen.

k * N = [-10, 0, 0] x [-10, -9, 0] = [0, 0, 90] = 90 * [0, 0, 1]

Nun nehme ich die Gleichung aus X Vektor und einem Punkt der Ebene und bilde auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor. Das ist dann schon die Koordinatenform.

X * N = [10, 4, 0.5] * N

X * [0, 0, 1] = [10, 4, 0.5] * [0, 0, 1]

0x + 0y + z = 0.5

z = 0.5

Wir erhalten also eine ebene parallel zur x-y-Ebene die durch z = 0.5 verläuft.