Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen. Ebene durch A (2/3/0), B(1/1/0), und C (3/1/1)

Question

Gegeben sind die Punkte A (2/3/0), B(1/1/0), und C (3/1/1). Stelle die Koordinatenform auf.

Answer 1

Hi,

Du willste eine Ebene bilden?

Die Ebenengleichung stellt sich zu ax+by+cz=d zusammen.

Die 3 Punkte eingesetzt:

2a+3b+0c=d

1a+1b+0c=d

3a+1b+1c=d

 

Ich erlaube mir das nun in den GTR einzutippen:

a=2d, b=-d und c=-4d

Wählen wir nun ein beliebiges d. Bsp. d=1

Ebenengleichung in Koordinantenform:

2x-y-4z=1

 

Grüße

 

(P.S.: Jedes Vielfache ist auch Lösung ;))

Comments

danke, ich hab kein gtr, der ist in Hessen nicht zugelassen. Daher die Frage, wie gehts ohne?

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Ich nehme mal die letzte Gleichung nach oben:

3a+1b+1c=d    I

2a+3b+0c=d    II

1a+1b+0c=d    III


II-2*III

3a+1b+1c=d    I

2a+3b+0c=d    II

0a+1b+0c=-d  -> b=-d


Damit in die II: 2a-3d=d   |+4d

2a=4d

a=2d


Und dann noch in die I:

6d-d+c=d         |-5d

c=-4d


Du siehst, das geht fast genauso schnell wie in den GTR tippen^^.

Answer 2

A = [2, 3, 0], B = [1, 1, 0], C = [3, 1, 1]

Ich persönlich finde es die Einfachste Variante das ganze über das Kreuzprodukt aufzustellen

N = AB ⨯ AC

X * N = A * N


Ich mache das mal mit Werten

N = ([1, 1, 0] - [2, 3, 0]) ⨯ ([3, 1, 1] - [2, 3, 0])

N = [-1, -2, 0] ⨯ [1, -2, 1] = [-2, 1, 4] = -[2, -1, -4]


X * [2, -1, -4] = [2, 3, 0] * [2, -1, -4]

2x - y - 4z = 1


Wie man das Kreuzprodukt berechnet siehst du unter