Zeigen oder widerlegen Sie, ob folgende Mengen mit der angegebenen VerknüpfungMonoide und/oder Gruppen sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder wiederlegen Sie, ob folgende Mengen mit der angegebenen Verknüpfung
Monoide und/oder Gruppen sind.

a) (N, +), wobei + die übliche Addition auf N ist.

b) (N, ·), wobei · die übliche Multiplikation ist.

c) (Rⁿ, +), wobei + die komponentenweise Addition der Vektoren aus Rⁿ sei.

d) (Rⁿ, ×), wobei für a = (a₁, a₂, . . . , a_n)^T und b = (b₁, b₂, . . . , b_n)^T in Rⁿ die

                  Verknüpfung × wie folgt definiert ist: a × b :=\( \sum\limits_{i=0}^{n}{a · b} \) , wobei a=a_i und b= b_i

e) Sei M eine Menge und bezeichne P = P(M ) die Potenzmenge von M . Zeigen Sie,
    dass P mit der Vereinigung ∪ als Verknüpfung ein Monoid ist.

f) Sei ℤ[x] die Menge aller Polynome in der Variabel x mit Koeffizienten aus ℤ, d.h. die Menge der ganzzahligen

   Polynome in einer Variabel. Betrachten Sie zwei Verknüpfungen: Addition „+“ von Polynomen und

der Multiplikation „·“ von Polynomen.

Könnte jemand helfen, ich weiß nicht genau wie ich das zeigen soll.

LG Blackwolf

Answer 1

Hallo

für Gruppe überprüft du ob es zu jedem Element ein inverses gibt. damit fallen die N schon mal raus, Monodie, brauchst du assoziativ und ein neutrales Element, enthält N bei euch die 0?

wo scheiterst du denn bei den Eigenschaften von Gruppe und Monoid? eigentlich ist das doch einfach zu zeigen oder widerlegen und ne Menge Schreibarbeit. Also stell hier nicht n aufgaben rein von denen du vielleicht n-1 kannst, sondern sage wo genau du nicht weiter weisst.

lul

Comments

N enthält bei uns keine 0.

bei a) hab ich weder Monoid noch Gruppe, weil 0 als neutrales Element ∉ℕ

b) ist ein Monoid, aber keine Gruppe weil -1 als Inverses ∉ℕ

c) ist Monoid sowie auch Gruppe

d) ist weder Monoid noch Gruppe, weil es nicht assoziativ ist

f) ist ein Monoid und eine Gruppe

Bei e) hab ich Schwierigkeiten das neutrale Element zu finden. Könnte das neutrale Elemant die leere Menge sein?

Das inverse Element müsste ja bei einer Vereinigung nicht existieren.

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b) Inverses wäre nicht -1 sondern 1/n

Rest soweit richtig

e) richtig die leere Menge

f was ist das Inverse zur Multiplikation? betrachte + und * einzeln

da du "zeigen" sollst musst du wohl jeweils das neutrale Element, assoziativ und wo Gruppe Das Inverse  zeigen.

lul