Aufgabe:
Zeigen Sie, dass man das Gleichungssystem
\( \begin{array}{r} x+y-u^{2}-v^{2}+96=0 \\ -x^{3}-y+5 u-v-10=0 \end{array} \)
lokal um \( \left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=(0,1,4,9) \) nach den Variablen \( u, v \) auflösen kann, d.h., es existieren Umgebungen \( U_{1} \subseteq \mathbb{R}^{2} \) von \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) und \( U_{2} \subseteq \mathbb{R}^{2} \) von \( \left(u_{0}, v_{0}\right) \) und eine stetig differenzierbare Funktion \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit der folgenden Eigenschaft:
Für alle \( (x, y) \in U_{1} \) löst das Tupel \( \left(x_{0}, y_{0}, \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) \in \mathbb{R}^{4} \) das Gleichungssystem.
Bestimmen Sie außerdem \( \nabla \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right) \).
