Induktion mit komplexen Zahlen?

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N}, a, b \in \mathbb{R} \). Sei \( S_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n-1} \cos (a k+b) \). Zeigen Sie:

\( S_{n}=\cos \left(b+\frac{(n-1) a}{2}\right) \frac{\sin \left(\frac{n a}{2}\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \)


Hinweis: der Ausdruck \( e^{\mathrm{i} \alpha}-1 \) lässt sich als \( e^{\mathrm{i} \alpha / 2}\left(e^{\mathrm{i} \alpha / 2}-e^{-\mathrm{i} \alpha / 2}\right)=2 \mathrm{i} e^{\mathrm{i} \alpha / 2} \sin (\alpha / 2) \) faktorisieren.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, dass man hier Induktion verwenden sollte... Allerdings scheitert es bei mir an der extrem langen Umformung im Induktionsschritt (Wo n → n + 1). Ich komme bis zur Gleichung:

= \( \frac{\left(\left(\cos \left(b+\frac{((n-1) * a)}{2}\right) * \sin \left(\frac{n^{\star} a}{2}\right)\right)+\left(\sin \left(\frac{a}{2}\right) * \cos (a(n+1)+b)\right)\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \)

aber ab hier weiß ich irgendwie nicht mehr weiter... Ist Induktion an dieser Stelle überhaupt empfehlenswert? Ist meine Umformung bis zu dem Schritt nachvollziehbar? Und wie macht man dann weiter (falls obige Fragen mit "Ja" beantwortet wurden)? Vielen Dank...

Comments

Aufgrund des Hinweises vermute ich, Du sollst den cos als Realteil einer komplexen exp-Funktion ansetzen. Dann wird die Summe zu einer geometrischen Summe ....

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Tut mir leid, ich muss deinen Kommentar scheinbar übersehen haben ... Wie wird aus der Summe die geometrische Summe? Also wie wandle ich den cos-Teil um in eine Exponentialfunktion?

Answer 1

Hallo,

erstmal ersetzt ich a durch 2a, damit ich nicht die ganze Zeit mit dem Bruch zu tun habe. Dann benutze ich die Euler Gleichung:

$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad \exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)$$

Damit

$$\cos(2ak+b)= \Re(\exp(i(2ak+b))=\Re(\exp(ib)+\exp(2ai)^k)$$

Man muss dann eine geometrische Summ berechnen mit \(q=\exp(2ai)\)::

$$\sum_{k=0}^{n-1}\exp(bi)\exp(2ai)^k=\exp(bi)\frac{\exp(2ani)-1}{\exp(2ai)-1}$$

$$=\exp(bi)\frac{\exp(ani)}{\exp(ai)}\frac{\exp(ani)-\exp(-ani)}{\exp(ai)-\exp(-ai)}$$

$$=\exp((b+a(n-1))i)\frac{\sin(na)}{\sin(a)}$$

Nimmt man hiervon den Realteil, erhält man das Gewünschte.

Gruß Mathhilf

Answer 2

Na, das ist doch Spitze!

Der vordere Summand \( \frac{\left(\cos \left(b+\frac{((n-1) * a)}{2}\right) * \sin \left(\frac{n^{\star} a}{2}\right)\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \) ist der Term deiner Induktionsvoraussetzung.

Der hintere Summand \( \frac{\left(\sin \left(\frac{a}{2}\right) * \cos (a(n+1)+b)\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \) ist nach dem Kürzen des Sinus der hinzukommende Kosinus-Summand.

Comments

Tut mir leid, ich habe mich schlecht ausgedrückt. Hier mein ganzer Lösungsweg:


I.V.:  ∃n∈ℕ:

\( \sum \limits_{k=0}^{n} \cos (a k+b)=\cos \left(b+\frac{1}{2}((n-1) a)\right) \times \frac{\sin \left(\frac{n a}{2}\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \)

I.S.:  n → n + 1

1) zz.: \( \sum \limits_{k=0}^{n+1} \cos (a k+b)=\cos \left(b+\frac{n a}{2}\right) \times \frac{\sin \left(\frac{1}{2}((n+1) a)\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \)

Beweisführung:

\( = \sum \limits_{k=0}^{n+1} \cos (a k+b)\) = \( \sum \limits_{k=0}^{n} \cos (a k+b)\) + \( \cos (a(n+1)+b) \)
.

.

.

\( =\frac{\left(\left(\cos \left(b+\frac{((n-1) * a)}{2}\right) * \sin \left(\frac{n^{*} a}{2}\right)\right)+\left(\sin \left(\frac{a}{2}\right) * \cos (a(n+1)+b)\right)\right)}{\sin \left(\frac{a}{2}\right)} \)

Ich hoffe, mein Problem ist nun klarer geworden. Ich möchte von der ersten Zeile der Beweisführung auf die Gleichung 1) kommen.

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Nicht, dass ich dir jetzt akut helfen kann, aber:

Was mir auffällt ist, dass du

Hinweis: der Ausdruck \( e^{\mathrm{i} \alpha}-1 \) lässt sich als \( e^{\mathrm{i} \alpha / 2}\left(e^{\mathrm{i} \alpha / 2}-e^{-\mathrm{i} \alpha / 2}\right)=2 \mathrm{i} e^{\mathrm{i} \alpha / 2} \sin (\alpha / 2) \) faktorisieren.

anscheinen komplett ignoriert hast. Vielleicht ist DAS der Weg zum Beweis?

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Ich verweise da gerne noch einmal auf meinen Kommentar