Hallo,
erstmal ersetzt ich a durch 2a, damit ich nicht die ganze Zeit mit dem Bruch zu tun habe. Dann benutze ich die Euler Gleichung:
$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad \exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)$$
Damit
$$\cos(2ak+b)= \Re(\exp(i(2ak+b))=\Re(\exp(ib)+\exp(2ai)^k)$$
Man muss dann eine geometrische Summ berechnen mit \(q=\exp(2ai)\)::
$$\sum_{k=0}^{n-1}\exp(bi)\exp(2ai)^k=\exp(bi)\frac{\exp(2ani)-1}{\exp(2ai)-1}$$
$$=\exp(bi)\frac{\exp(ani)}{\exp(ai)}\frac{\exp(ani)-\exp(-ani)}{\exp(ai)-\exp(-ai)}$$
$$=\exp((b+a(n-1))i)\frac{\sin(na)}{\sin(a)}$$
Nimmt man hiervon den Realteil, erhält man das Gewünschte.
Gruß Mathhilf