Vollständige Induktion mit komplexen Zahlen

Question

Zeige ∀n∈ℕ:. 2∑ⁿ_k=1   ki^k = n(1-i) i^n +i^n -1

Das Prozedere der vollständigen Induktion ist mir bekannt, jedoch komm ich da zu keiner Lösung und weiß nicht, ob ich mich da iwo verhaspel oder man beim umformen einen "Trick" anwenden soll...

Beim Ausmultiplizieren von (n+1)(1-i)i^{n+1} +i^{n+1} -1 komme ich auf:  ni^{n+1} -ni^n + i^n +2i^{n+1} -1

Und beim Ausführen der Induktion auf: ni^n -nii^n +i^n -1+ni^{n+1} +i^{n+1} ...

Kann man die Terme durch Umformungen zu einem Gleichnis führen oder habe ich einen Fehler drin ?

Bin über jede Hilfe dankbar ;)

Answer 1

Hallo AzM,

die rechte Seite der Induktionsbehauptung ergibt:

(n + 1) · (1 - i) · iⁿ⁺¹+ iⁿ⁺¹  - 1  =  - n · iⁿ⁺² -  iⁿ⁺² + n · iⁿ⁺¹  + 2 · iⁿ⁺¹  - 1

Beim Induktionsschritt ergibt sich nach Anwendung der Induktionsvoraussetzung:

n · (1 - i) · iⁿ + iⁿ - 1 + 2·(n + 1) · iⁿ⁺¹  =  n · iⁿ⁺¹ + 2 · iⁿ⁺¹ + n · iⁿ + iⁿ - 1

Die Differenz  dieser Terme ist gleich   

 - n · iⁿ⁺² - iⁿ⁺² - n · iⁿ - iⁿ   =   iⁿ · ( - n · i² - i² - n - 1)   =  0       [ wegen i² = -1 ]

Diese Terme  sind also gleichwertig , was zu zeigen war. 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke dir ;) Habe meinen Fehler gefunden.