Aloha :)
Wir untersuchen den Patienten:$$|x-3|+|x+3|+|x-5|=10$$
1. Fall: \(x\ge5\)
Alle Terme in den Betragszeichen sind positiv:$$(x-3)+(x+3)+(x-5)=10\implies3x-5=10\implies x=5\quad\checkmark$$Dieser Fall liefert eine Lösung, nämlich \(x=5\).
2. Fall: \(3\le x<5\)
Nur im letzten Term \(|x-5|\) haben die Betagszeichen eine Wirkung:$$(x-3)+(x+3)\pink-(x-5)=10\implies2x+5=10\implies x=2,5<3$$In diesem Fall gibt es also keine Lösung, da \(3\le x<5\) vorausgestzt war.
3. Fall: \(-3\le x<3\)
Die Betragszeichen wirken auf den ersten und auf den dritten Term:$$\pink-(x-3)+(x+3)\pink-(x-5)=10\implies-x+11=10\implies x=1\quad\checkmark$$Dieser Fall liefert eine weitere Lösung, nämlich \(x=1\).
4. Fall \(x<-3\)
Alle Betragszeichen wirken:$$\pink-(x-3)\pink-(x+3)\pink-(x-5)=10\implies-3x+5=10\implies x=-\frac53>-3$$In diesem Fall gibt es keine weiter Lösung.
Alles zusammengefasst, haben wir 2 Lösungen:\(\quad x=1\;\text{und}\; x=5\).
~plot~ abs(x-3)+abs(x+3)+abs(x-5) ; 10 ; [[-2|7|8|12]] ~plot~