Bestimme alle Lösungen der Gleichung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung

|x-3| + |x+3| +|x-5| =10

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht wie man hier eine Falluntetscheidung durchnimmt.

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen den Patienten:$$|x-3|+|x+3|+|x-5|=10$$

1. Fall: \(x\ge5\)

Alle Terme in den Betragszeichen sind positiv:$$(x-3)+(x+3)+(x-5)=10\implies3x-5=10\implies x=5\quad\checkmark$$Dieser Fall liefert eine Lösung, nämlich \(x=5\).

2. Fall: \(3\le x<5\)

Nur im letzten Term \(|x-5|\) haben die Betagszeichen eine Wirkung:$$(x-3)+(x+3)\pink-(x-5)=10\implies2x+5=10\implies x=2,5<3$$In diesem Fall gibt es also keine Lösung, da \(3\le x<5\) vorausgestzt war.

3. Fall: \(-3\le x<3\)

Die Betragszeichen wirken auf den ersten und auf den dritten Term:$$\pink-(x-3)+(x+3)\pink-(x-5)=10\implies-x+11=10\implies x=1\quad\checkmark$$Dieser Fall liefert eine weitere Lösung, nämlich \(x=1\).

4. Fall \(x<-3\)

Alle Betragszeichen wirken:$$\pink-(x-3)\pink-(x+3)\pink-(x-5)=10\implies-3x+5=10\implies x=-\frac53>-3$$In diesem Fall gibt es keine weiter Lösung.

Alles zusammengefasst, haben wir 2 Lösungen:\(\quad x=1\;\text{und}\; x=5\).

~plot~ abs(x-3)+abs(x+3)+abs(x-5) ; 10 ; [[-2|7|8|12]] ~plot~

Answer 2

Die Fälle entscheiden sich ja bei -3 und 3 und 5.

1. Fall x<-3 (dann ja auch x<3 und x<5)

|x-3| + |x+3| +|x-5| =10

<=> -x+3  -x-3 -x+5 =10

<=> -3x+5 =10

<=> -3x =5

<=>   x =-5/3  Das ist aber nicht kleiner als -3,
                     also hier keine Lösung

2. Fall -3≤x<3  (dann ja auch x<5 )

|x-3| + |x+3| +|x-5| =10

<=> -x+3 +x+3 -x+5 = 10

<=>       -x+11 = 10

<=>    x = 1  Das liegt im Bereich -3≤x<3 ist also eine Lösung

3. Fall   3≤x<5  (dann ja auch x>-3 ) ............

4. Fall x≥5 ...............

Kannst die Lösungen auch am Graphen verifizieren.

~plot~ abs(x-3)+abs(x+3)+abs(x-5); 10 ~plot~

Answer 3

Fallunterscheidung:

1. x< -3

2. -3 <=x <5

3. x>5

1. -(x-3)- (x+3) -(x-5) = 10

-3x = 5

x= -5/3  entfällt

2. -x+3+x+3-x +5 = 10

-x = -1

x= 1

3x= 15

x= 5 

x-3| + |x+3| +|x-5| =10