Exponentielles Wachstum/Zerfall (Abnahme). Wie gross ist die Temperatur der Tasse nach weiteren 5 bzw 10 Minuten?

Question

Aufgabe:

Stellt man einen heissen Körper (mit der Temperatur T) in einen Raum mit konstanter Temperatur T₀, so nimmt die Temperaturdifferenz ∆T = T – T₀ exponentiell mit der Zeit ab. Eine heisse Tasse Kaffee hat am Anfang eine Temperatur von 90 °C und befindet sich in einem Zimmer mit 20 °C Raumtemperatur. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Tasse noch 68 °C.
a) Wie gross ist die Temperatur der Tasse nach weiteren 5 bzw. 10 Minuten?
b) Wie lange muss man warten, bis die Temperatur noch 30 °C beträgt?

Problem/Ansatz:

Exponentielles Wachstum/Zerfall (Abnahme)

Answer 1

Stellt man einen heissen Körper (mit der Temperatur T) in einen Raum mit konstanter Temperatur T0, so nimmt die Temperaturdifferenz ∆T = T – T0 exponentiell mit der Zeit ab. Eine heisse Tasse Kaffee hat am Anfang eine Temperatur von 90 °C und befindet sich in einem Zimmer mit 20 °C Raumtemperatur. Nach 5 Minuten beträgt die Temperatur der Tasse noch 68 °C.

a) Wie gross ist die Temperatur der Tasse nach weiteren 5 bzw. 10 Minuten?

T(t) = 20 + 70·(48/70)^(t/5)

T(10) = 20 + 70·(48/70)^(10/5) = 52.91°

T(15) = 20 + 70·(48/70)^(15/5) = 42.57°

b) Wie lange muss man warten, bis die Temperatur noch 30 °C beträgt?

T(t) = 20 + 70·(48/70)^(t/5) = 30 --> t = 25.79 Minuten

Comments

Danke. Die Resultaten stimmen einigermassen (soweit), aber der Lösungsweg ist nicht klar (nicht mathematisch logisch niedergeschrieben).
Allg. Gleichung: T(t) = T(0).(a)^(t) -> hierzu sind T(t) (= 68°) , T(0) (= 90°) und t (= 5 Min) bekannt. Daraufhin kann man „(a)“ (=Abnahmefaktor) berechnen.

Folgt: 68° = 90°.(a)⁽⁵⁾ => (a) = 0.945

andere Gleichung aus Physik (Wärme) ist: ΔT = T_Ende – T_Anfang =>  ΔT = T₁ – T₀
Wieso benutzen Sie folgende Gleichungen: zwei davon
(1)  ΔT₁ = 90°C – 20°C =>    ΔT₁ = 70°  und (2)  ΔT₂ = 68°C – 20°C =>    ΔT₂ = 48° ?
Und wie Sie sind darauf gekommen, um diese mit der Allg. Gleichung zu einer Gleichung zusammen zu fassen?

Bzw. wie kommen Sie darauf das „(a)“ (=Abnahmefaktor) = (48/70) logisch mathematisch ist?
Gruss

---

Du suchst eine Exponentialfunktion der Form

T(t) = a + b * c^(x / d)

a muss die Langfristige Asymptote sein

T(0) = a + b = T(0) oder b = T(0) - a

b kann man Anhand des Anfangsbestandes festlegen

T(d) = a + b * c = T(d) → c = (T(d) - a ) / b = (T(d) - a ) / (T(0) - a)

c kann man anhand eines Wertes nach d Zeiteinheiten bestimmen.

Da man dieses eigentlich direkt alles aus der Funktion ablesen kann braucht man eigentlich keine sehr umständlichen Rechnungen.

Natürlich erzählen die Lehrer das den Schülern nie wie es so einfach geht.

Letztendlich kannst du mit

T(t) = a + b * c^(x / d) einfach ein Lineares Gleichungssystem aufstellen und dieses Gleichungssystem lösen. Du kommst natürlich beim Lösen auch auf die von mir angegebenen Werte soweit ich mich nicht irgendwo verlesen oder vertippt habe.

---

Nicht ok. wie Sie es einigermassen "mathematisch" darstellen.

Sie haben meine Fragen nicht beantwortet.

Ich frage erneut: wie bekommen Sie "a"= (48/70) und warum T(t) = 20 + 70·,,,

Danke für Ihre Antwort

Gruss

Answer 2

Hallo

ich schreibe statt T0 lieber TE weil T0 an T(0) erinnert

dann steht da. T(t)-TE=A*e-kt, Temperaturdifferenz nimmt exponentiell ab!

T(t)=TE+Ae-kt.

Bekannt T(0)=90°; T(5Min)=68°

Einsetzen aus T(0) folgt 90°=20°+A also A=70°

jetzt setze T(5Min) ein und bestimme daraus k

Wenn ihr nicht mit der e- funktion rechnet kannst du auch mit

T(t)-TE=A*b^t rechnen und b statt k bestimmen.

Gruß lul

Comments

Danke, aber Ihren Lösungsweg ist total nicht übersichtlich.

Und nebenbei, ja, ich kenne die Formel mit (e^k.t)

Gruss

---

Hallo

Was an der Herleitung verstehst du nicht? die fertige Formel hab ich ja hingeschrieben.

Gruß lul