Aufgabe:
Eine Teilmenge E⊂ℝ3 heißt affine Ebene, falls sie von der Form E=Ea,b:={(x1,x2,x3) ∈ ℝ3:a1x1+a2x2+a3x3=b} für a=(a1,a2,a3) ∈ ℝ3 \ {0} und b∈ℝ ist. Zeigen Sie:
a) Jede affine Ebene E lässt sich in Parameterform bringen, d.h. es existieren u,v,w ∈ ℝ3 mit v,w linear unabhängig, so dass E={u+λv+μw:λμ ∈ ℝ}.
b) Für den Schnitt zweier affiner Ebenen E und E‘ tritt genau eine der folgenden drei Möglichkeiten ein:
i E∩E‘=∅
ii E=E‘
iii E∩E‘=L für L={u+λv:λ∈ℝ} mit u,v∈ℝ3.
c) Für je drei Punkte x,y,z∈ℝ3, die nicht auf einer affinen Geraden liegen, existiert genau eine affine Ebene E mit x∈E, y∈E und z∈E.
