Aufgabe:
Hallo
Kann jemand die Frage antworten.
Wie kann ich mit der dyadischen Zerlegung beweisen, dass die Reihe ∑n=1∞1n2 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} n=1∑∞n21 Konvergenz ist?
Bestimmen Sie damit eine obere Schranke für die Summe der Reihe.
Aloha :)
Wenn wir den Nenner eines postiven Bruches verkleiner, wird der Bruch größer:∑n=1N1n2=112+∑n=2N1n2<1+∑n=2N1(n−1)⋅n=1+∑n=2N(1n−1−1n)\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}<1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)n=1∑Nn21=121+n=2∑Nn21<1+n=2∑N(n−1)⋅n1=1+n=2∑N(n−11−n1)∑n=1N1n2=1+∑n=2N1n−1−∑n=2N1n=1+∑n=1N−11n−∑n=2N1n\phantom{\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}n=1∑Nn21=1+n=2∑Nn−11−n=2∑Nn1=1+n=1∑N−1n1−n=2∑Nn1∑n=1N1n2=1+(11+∑n=2N−11n)−(∑n=2N−11n+1N)=2−1N<2\phantom{\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}=1+\left(\frac11+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}+\frac{1}{N}\right)=2-\frac1N<2n=1∑Nn21=1+(11+n=2∑N−1n1)−(n=2∑N−1n1+N1)=2−N1<2Für N→∞N\to\inftyN→∞ finden wir die obere Grenze 222 und die Konvergenz der Summe.
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