Aloha :)
Ich musste gerade lachen, weil der Lösungsweg ja schon komplett in der Aufgabenstellung steht. Aber du willst natürlich verstehen, warum die Abschätzung gilt, daher starten wir mit dem binomischen Lehrsatz:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen und alle anderen Summanden weglassen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n\quad\text{für }n\ge2$$Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}\quad\text{bzw.}\quad\sqrt[n]{n}-1\le\sqrt{\frac{2}{n}}\quad\text{bzw.}\quad\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac2n}$$Wegen \(n\ge1\) ist außerdem \(\sqrt[n]{n}\ge1\), sodass:$$1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac2n}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
