Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f:] 0, ∞[→ ℝ, f(x)=√{x} , mit der Definition (also mit dem Grenzwert des …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \( f:] 0, \infty[\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x} \), mit der Definition (also mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten).

Problem/Ansatz:

Ich kann es normal ableiten (Also (1/2)*x^-(1/2) )
Was heißt Grenzwert des Differenzenquotienten?

Answer 1

\( f(x)=\sqrt{x} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}= \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}) \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h \cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \)

\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \)

\( =\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)

Answer 2

Hallo

du suchst den GW h gegen 0 für (\( \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}) \) Staat h auch (x0-x) dann x->x0

dann den Bruch  mit der Summe der Differenz (3- Binom) erweitern.  Du darfst verwenden x>0

Gruß lul

Answer 3

Grenzwert von  (f(x+h)-f(x)) / h für h gegen 0.

(√(x+h)-√(x)) / h erweitern mit    (√(x+h)+√(x))  gibt mit

der 3. bino. Formel im Zähler angewandt

(  x+h - x ) /    (   (√(x+h)+√(x)) * h )

=  h /    (  (√(x+h)+√(x)) * h )       h kürzen gibt

= 1 /   (  (√(x+h)+√(x))

Für h gegen 0 also f ' (x)  =  1 / ( 2√x ) .