Weg zwischen Zeitpunkten mittels Integrieren bestimmen

Question

Aufgabe:

Ein Körper bewegt sich zum Zeitpunkt t mit der Geschwindigkeit v(t) (in m/s). Stelle den Weg,
den er zwischen den Zeitpunkten a und b zurücklegt, als Integral dar und berechne dieses!

a) v(t) = (t – c)², a = 0, b = c (c > 0)

b) v(t) = e^kt, a = 0, b = 1/k (k > 0)

Problem/Ansatz:

Vielen Dank!

Answer 1

\(v(t) = (t – c)^2\)

\( \int\limits_{0}^{c}(t – c)^2*dt= \int\limits_{0}^{c}(t^2 –2* c*t+c^2)*dt=[\frac{1}{3}*t^3-c*t^2 +c^2*t]\)=

=\([\frac{1}{3}*c^3-c*c^2 +c^2*c]-0=[\frac{1}{3}*c^3-c^3 +c^3]=\frac{1}{3}*c^3\)

Answer 2

a) \(\int_a^b v(t)\mathrm{d}t\)

b) \(\int_a^b v(t)\mathrm{d}t\)

Answer 3

Aloha :)

$$s_a=\int\limits_{0}^c(t-c)^2\,dt=\left[\frac{(t-c)^3}{3}\right]_{t=0}^c=0-\left(-\frac{c^3}{3}\right)=\frac{c^3}{3}$$$$s_b=\int\limits_{0}^{1/k}e^{kt}\,dt=\left[\frac{e^{kt}}{k}\right]_{t=0}^{1/k}=\frac{e^1}{k}-\frac{e^0}{k}=\frac{e-1}{k}$$