komplexwertige Lösungen

Question

Aufgabe:

a) Finden Sie alle komplexwertigen Lösungen von

i) \( z^{3}=-8 i \).

ii) \( z^{4}+2(\sqrt{12}-2 i) z^{2}+8-4 \sqrt{12} i=0 \) und geben Sie die Lösungen in Polardarstellung an.

b) Bestimmen Sie die kartesische Darstellung der folgenden komplexen Zahl: \( z_{1}=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4} i} \).

c) Gegeben seien die folgende Funktionswerte von Sinus und Cosinus

\( \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \frac{1}{2} . \)

Geben Sie mit Hilfe der Additionstheoreme, ausgehend von diesen Werten, \( e^{\frac{5 \pi}{12} i} \) in kartesischen Koordinaten an.

Problem/Ansatz:

Ich konnte a-1 lösen, was 2i ist.Außer der Aufgabe konnte ich nicht genau richtig lösen. Könnte jemand mir helfen, sodass ich weiter üben und verstehen kann?

Answer 1

Bei a) i) musst du deine Lösung noch mit den dritten Einheitswurzeln multiplizieren.

Bei a) ii) hilft vielleicht die Substitution \(u = z^2\).

Bei b) solltest du dich erkundigen, wo du in dem Ausdruck \(\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4} i} \) den Betrag und das Argument der Zahl findest und so eine Darstellung der Form

        \(z_1 = r\cdot (\cos\varphi + \mathrm{i}\cdot \sin\varphi)\)

finden.