Aloha :)
Wir untersuchen, ob \(G\coloneqq(\mathbb Q\setminus\{0\},\ast)\) mit \(a\ast b=\frac{ab}{2}\) eine Gruppe bildet.
1) Assiziativität: Für \(a,b,c\in G\) gilt:$$(a\ast b)\ast c=\left(\frac{ab}{2}\right)\ast c=\frac{\frac{ab}{2}c}{2}=\frac{abc}{4}=\frac{a\frac{bc}{2}}{2}=a\ast\left(\frac{bc}{2}\right)=a\ast(b\ast c)\quad\checkmark$$
2) Existenz eines neutralen Elmentes \(n\coloneqq 2\in G\): Für \(a\in G\) gilt:$$2\ast a=\frac{2a}{2}=a\quad;\quad a\ast2=\frac{a\cdot2}{2}=a\quad\checkmark$$
3) Existenz eines inversen Elementes \(a'\coloneqq\frac{4}{a}\). Für \(a\in G\) gilt:$$a'\ast a=\frac{\frac4a\cdot a}{2}=\frac42=2=n\quad;\quad a\ast a'=\frac{a\ast\frac4a}{2}=\frac42=2=n\quad\checkmark$$
Es reicht bei 2) und 3) schon aus, die Existzen eines links-neutrale und eines links-inverse Elements zu zeigen. Der Vollständigkeiit halber habe das jeweils auch für die rechte Seite gezeigt.
4) Die Guppe ist sogar abelsch bzw. kommutativ. Für \(a,b\in G\) gilt nämlich:$$a\ast b=\frac{ab}{2}=\frac{ba}{2}=b\ast a\quad\checkmark$$
